Хорновский дизъюнкт

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Дизъюнкт Хорна»)
Перейти к: навигация, поиск

Хорновский дизъюнкт — дизъюнктивный одночлен с не более чем одним положительным литералом[1]. Изучены Альфредом Хорном (англ. Alfred Horn) в 1951 году в связи с их важной ролью в теории моделей и универсальной алгебре. Впоследствии стали основой для языка логического программирования Пролог, в котором программа являются непосредственно набором хорновских дизъюнктов, а также нашли важные приложения в конструктивной логике и теории сложности вычислений.

Конструкция и определения[править | править код]

Для положительных литералов хорновские дизъюнкты могут иметь один из следующих видов[1]:

Дизъюнкт Хорна с ровно одним положительным литералом есть определённый дизъюнкт; в универсальной алгебре определённые дизъюнкты являются квазитождествами. Дизъюнкт Хорна без положительных литералов иногда называется целью или запросом, в частности в логическом программировании. Формула Хорна — конъюнкция дизъюнктов Хорна, то есть формула в конъюнктивной нормальной форме, все дизъюнкты которой являются хорновскими. Двойственным хорновским дизъюнктом называют дизъюнкцию с не более чем одним отрицательным литералом.

Пример (определённого) дизъюнкта Хорна:

.

Эта формула может быть преобразована в эквивалентную формулу с импликацией[1]:

или[1]:

.

Приложения[править | править код]

Хорновские дизъюнкты могут быть пропозициональными формулами, либо формулами первого порядка, в зависимости от того, рассматриваются ли пропозициональные литералы или литералы первого порядка.

Дизъюнкты Хорна связаны с доказательством теорем через резолюции первого порядка, так как резолюция двух хорновских дизъюнктов является хорновским дизъюнктом. Кроме того, резолюция цели и определённого дизъюнкта также является хорновским дизъюнктом. В автоматическом доказательстве теорем, это может давать большую эффективность в доказательстве теоремы, представленной в виде цели.

Резолюция цели с определённым дизъюнктом для получения новой цели является основной для правила вывода в SLD-резолюции, используемого для реализации логического программирования и языка программирования Пролог. В логическом программировании определённый дизъюнкт используется как процедура редукции цели. Например, дизъюнкт из примера выше работает как процедура: «чтобы показать , показать , , и ».

Чтобы подчеркнуть это обратное применение дизъюнкта, часто используется оператор :

На Прологе это записывается в виде:

u :- p, q, ..., t.

Пропозициональные дизъюнкты Хорна также представляют интерес для теории сложности вычислений, где задача HORNSAT поиска множества истинностных значений, выполняющих конъюнкцию дизъюнктов Хорна, является P-полной. Это вариант из класса P для SAT — важнейшей NP-полной задачи. Задача выполнимости дизъюнктов Хорна первого порядка не разрешима.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 4 Ricardo Caferra. Logic for Computer Science and Artificial Intelligence. — John Wiley & Sons, 2013. — 537 p. — ISBN 978-1-118-60426-7.

Литература[править | править код]

  • Alfred Horn On sentences which are true of direct unions of algebras // Journal of Symbolic Logic. — 1951. — Т. 16.

Ссылки[править | править код]