Дилемма смещения–дисперсии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Функция и данные с шумом.
разброс = 5
разброс = 1
разброс = 0.1
Функция (красный цвет) аппроксимирована с помощью радиально-базисных функций (РБФ) (синий цвет). На каждом графике показано несколько испытаний. Для каждого испытания в качестве тренировочного набора использовались некоторые точки из выборки с шумом (верхний график). При широком разбросе (график 2) смещение высоко, РБФ не могут полностью аппроксимировать функцию (особенно центральную яму), но дисперсия между испытаниями мала. По мере увеличения разброса (графики 3 и 4) смещение возрастает, синяя кривая ближе аппроксимирует красную кривую. Однако дисперсия между испытаниями растёт. На нижнем графике приближённое значение в точке x=0 сильно зависят от расположения точек выборки.

Дилемма смещения-дисперсии в статистике и в машинном обучении — это свойство набора моделей предсказания, по которому модели с меньшим смещением в параметре оценки имеют более высокую дисперсию оценки параметра в выборках и наоборот. Дилемма или проблема смещения-дисперсии является конфликтом в попытке одновременно минимизировать эти два источника ошибки[en], которые мешают алгоритмам обучения с учителем делать обобщение за пределами тренировочного набора[en].

  • Смещение — это ошибка, возникающая в результате ошибочного предположения в алгоритме обучения. В результате большого смещения алгоритм может пропустить связь между признаками и выводом (недообучение).
  • Дисперсия — это ошибка чувствительности к малым отклонениям в тренировочном наборе. При высокой дисперсии алгоритм может как-то трактовать случайный шум[en] в тренировочном наборе, а не желаемый результат (переобучение).

Разложение смещения-дисперсии — это способ анализа ожидаемой ошибки обобщения[en] алгоритма обучения для частной задачи сведением к сумме трёх членов — смещения, дисперсии и величины, называемой неустранимой погрешностью, которая является результатом шума в самой задаче.

Дилемма возникает во всех формах обучения с учителем — в классификации, регрессии (аппроксимация функции)[1][2] и структурном обучении[en]. Дилемма также вовлекается для объяснения эффективности эвристики при обучении людей[3].

Побудительные причины[править | править код]

Дилемма смещения-дисперсии является центральной проблемой в обучении с учителем. В идеале, хотят выбрать модель, которая точно схватывает закономерности в тренировочных данных и способна обобщить хорошо на неизвестные данные. К сожалению, обычно это невозможно сделать одновременно. Методы обучения с высокой дисперсией могут хорошо представлять тренировочный набор, но имеют риск быть переобученными для данных с шумом или непрезентативных данных. В отличие от них, алгоритмы с низкой дисперсией обычно дают более простые модели, не склонно к переобучению, но может оказаться недообученным, что приводит к пропуску важных свойств.

Модели с малым смещением обычно более сложны (например, в них регрессионные многочлены имеют более высокий порядок), что позволяет им представлять тренировочное множество более точно. Однако они могут иметь большую компоненту шума[en] тренировочного набора, что делает предсказание менее точным вопреки добавленной сложности. Для контраста, модели с высоким смещением относительно более просты (имеют многочлены меньшего порядка или даже линейные), но могут давать низкую дисперсию предсказаний, если применяются вне тренировочного набора.

Разложение смещения-дисперсии квадратичной ошибки[править | править код]

Предположим, что у нас есть тренировочное множество, состоящее из набора точек и вещественных значений , связанных с каждой из этих точек . Мы предполагаем, что есть функция с шумом , где шум имеет нулевое среднее и дисперсию .

Мы хотим найти функцию , которая аппроксимирует истинную функцию настолько хорошо, насколько возможно, в смысле некоторого алгоритма обучения. Мы делаем понятие «настолько хорошо, насколько возможно» точным путём измерения среденквадратичной ошибки[en] между и  — мы хотим, чтобы значение было минимальным как для точек , так и за пределами нашей выборки. Естественно, мы не можем сделать это идеально, поскольку содержит шум . Это означает, что мы должны быть готовы принять неустранимую ошибку в любой функции, с которой будем работать.

Поиск функции , которая обобщается для точек вне тренировочного набора, может быть осуществлён любым из несчётного числа алгоритмов, используемых для обучения с учителем. Оказывается, что какую бы функцию мы ни выбрали, мы можем разложить её ожидаемую ошибку на непросмотренном экземпляре данных следующим образом:[4][5].

,

где

и

Математические ожидания пробегают разные варианты выбора тренировочного набора из одного и того же совместного распределения . Три члена представляют

  • квадрат смещения метода обучения, который можно рассматривать как ошибку, вызванную упрощением предположений, принятых в методе. Например, когда применяется аппроксимация нелинейной функции при использовании метода обучения для линейных моделей[en], будет появляться ошибка в оценке как результат такого допущения;
  • дисперсия метода обучения, или, интуитивно, как далеко метод обучения уведёт от среднего значения;
  • неустранимая ошибка . Поскольку все три величины неотрицательны, они формируют нижнюю границу ожидаемой ошибки на непросмотренных данных[4].

Чем более сложна модель , тем больше точек данных она захватывает и тем меньше будет смещение. Однако сложность приводит модель к захвату большего числа точек, а потому её дисперсия будет больше.

Вывод[править | править код]

Вывод разложения смещения-дисперсии для среднеквадратичной ошибки приведён ниже[6][7]. Для удобства введём обозначения и . Во-первых, вспомним, что по определению для любой случайной переменной мы имеем

Переставив члены получим:

Поскольку детерминирована,

.

Тогда из и вытекает, что .

Но поскольку , получаем

Так как и независимы, мы можем записать

Приложение к регрессии[править | править код]

Разложение смещения-дисперсии образует концептуальный базис для методов регуляризации регрессии, таких как Lasso[en] и гребневая регрессия. Методы регуляризации вводят смещение в решение регрессии, которая уменьшает дисперсию значительно ближе к решению обычный метод наименьших квадратов[en] (ОМНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS). Хотя решение ОМНК даёт несмещённую оценку регрессии, решения с меньшей дисперсией, полученные путём регуляризации, обеспечивают превосходную среднеквадратичную ошибку.

Приложение к классификации[править | править код]

Разложение смещение-дисперсия первоначально было сформулировано для линейной регрессии методом наименьших квадратов. Для случая классификации с 0-1 функцией потерь (доля неправильно классифицированных), можно найти похожее разложение[8][9]. Альтернативно, если задача классификации может быть сформулирована как {вероятностная классификация, ожидание квадрата ошибки предсказанных вероятностей по отношению к истинным вероятностям может быть разложено как и ранее[10].

Подходы[править | править код]

Снижение размерности и отбор признаков могут уменьшить дисперсию путём упрощения моделей. Аналогично, больше тренировочное множество приводит к уменьшению дисперсии. Добавление признаков (предсказателей) ведёт к уменьшению смещения за счёт увеличения дисперсии. Алгоритмы обучения обычно имеют некоторые настраиваемые параметры, которые контролируют смещение и дисперсию. Например,

Один из способов разрешения дилеммы — использование смешенных моделей[en] и композиционного обучения[14][15]. Например, форсирование[en] комбинирует несколько «слабых» (с высоким смещением) моделей в сборку, которая имеет более низкое смещение, чем каждая из индивидуальных моделей, в то время как бэггинг комбинирует «строгое» обучение так, что уменьшается дисперсия.

k-ближайших соседей[править | править код]

В случае регрессии k-ближайших соседей существует выражение в замкнутой форме[en], связывающее разложение смещение-дисперсия с параметром k[5]:

где являются k ближайшими соседями x в тренировочном наборе. Смещение (первый член) является монотонно возрастающей функцией от k, в то время как дисперсия (второй член) убывает по мере роста k. Фактически, при «разумных предположениях» оценщика смещения ближайшего соседа (1-NN) полностью обращается в нуль, когда размер тренировочного множества стремится к бесконечности[1].

Приложение к обучению людей[править | править код]

В то время как дилемма смещения-дисперсии широко обсуждается в контексте обучения машин, она была проверена в контексте когнитивных способностей человека, прежде всего Гердом Гигеренцером с соавторами. Они утверждают, что (см. ссылки ниже) человеческий мозг решает дилемму в случае разреженных плохо описанных тренировочных наборов, полученных в результате личного опыта, путём использования эвристики высокого смещения/низкой дисперсия. Это отражает факт, что подход с нулевым смещением имеет плохую обобщаемость к новым ситуациям, а также беспричинно предполагает точное знание состояния мира. Получающаяся эвристика относительно проста, но даёт лучшее соответствие широкому разнообразию ситуаций[3].

Гиман и др.[1] возражают, что из дилеммы смещения-дисперсии следует, что такие возможности, как распознавание общих объектов, не может быть получено с нуля, а требует определённого «жёсткого монтажа», который затем превращается в опыт. Именно поэтому подходы к заключениям без модели требуют неоправданно больших наборов тренировочных наборов, если нужно избежать высокой дисперсии.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]