Диофантова пятёрка

Диофантова пятёрка — гипотетическое множество из пяти положительных целых чисел $\{a_{1},\dots ,a_{5}\}$, обладающих тем свойством, что всякое число $a_{i}a_{j}+1$ является квадратом. По состоянию на 2014 год вопрос о существовании таких пятёрок является открытой проблемой.

Диофант нашёл четвёрку рациональных чисел:

$\left\{{\frac {1}{16}},{\frac {33}{16}},{\frac {17}{4}},{\frac {105}{16}}\right\}$,

которые обладают этим свойством в рациональном смысле (то есть, всякое $a_{i}a_{j}+1$ является рациональным квадратом). Позже было найдено множество из шести рациональных чисел, обладающих заданным свойством.

Пьер Ферма обнаружил четвёрку целых положительных чисел — $\{1,3,8,120\}$, обладающую заданным свойством. Эйлер смог расширить это множество добавлением рационального числа:

${\frac {777480}{8288641}}$,

но положительное целое, сохраняющее заданное свойство, не может быть добавлено к этой четвёрке, что было доказано в 1969 году Бейкером (Baker) и Дэвенпортом (Davenport).

В 2004 году хорватский математик Андрей Дуелла (Andrej Dujella) показал, что может существовать лишь конечное число диофантовых пятёрок.

Ссылки

• Страницы Андрея Дуеллы о диофантовых наборах Архивная копия от 27 ноября 2014 на Wayback Machine