Дискриминант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дискримина́нт многочлена , , есть произведение

,
где  — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  • , где  — результант многочлена и его производной .
    • В частности, дискриминант многочлена
равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:

Матрица 2.0.PNG

Примеры[править | править вики-текст]

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени[править | править вики-текст]

Дискриминант квадратного трёхчлена равен

  • При вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
.
  • При корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
.
  • При вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
.

Многочлен третьей степени[править | править вики-текст]

Дискриминант кубического многочлена равен

В частности, дискриминант кубического многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .

  • При кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
  • При он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
  • При кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степени[править | править вики-текст]

Дискриминант многочлена четвертой степени равен

Для многочлена дискриминант имеет вид

и равенство определяет в пространстве поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

  • При многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
  • При многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
А именно, для многочлена :[1]
  • если , то все корни комплексные,
  • если и , то все корни комплексные,
  • если и , то все корни вещественные.
  • При многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
Точнее:[1]
  • если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если и , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
  • если и , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
  • если и , то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
  • если , и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если , и , то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
  • если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если и , то один вещественный корень кратности 4.

История[править | править вики-текст]

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр[2].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Rees, E. L. (1922). «Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation». The American Mathematical Monthly 29 (2): 51–55. DOI:10.2307/2972804.
  2. Matrices and Determinants — Numericana