Дискриминант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дискримина́нт многочлена p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n, a_n \neq 0, есть произведение

D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2,
где \alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  • D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p'), где R(p,p') — результант многочлена p(x) и его производной p'(x).
    • В частности, дискриминант многочлена
p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0
равен, с точностью до знака, определителю следующей (2n-1)\times(2n-1)-матрицы:
1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . . . 0
0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . . 0
0 0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . . a_0
n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . . . 0
0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . . 0
0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} 0 . . . .
0 0 0 0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . . a_1

Примеры[править | править вики-текст]

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени[править | править вики-текст]

Дискриминант квадратного трёхчлена ax^2+bx+c равен D = b^2-4ac.

  • При D > 0 вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};.
  • При D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
x = \frac{-b}{2a};.
  • При D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.

Многочлен третьей степени[править | править вики-текст]

Дискриминант кубического многочлена ax^3+bx^2+cx+d равен

 D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.

В частности, дискриминант кубического многочлена x^3+px+q (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен -27q^2-4p^3.

  • При D > 0 кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
  • При D = 0 он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один единственный вещественный корень кратности 3).
  • При D < 0 кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степени[править | править вики-текст]

Дискриминант многочлена четвертой степени ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e равен

\begin{align} 
&D = 256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4 \\ 
&+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e \\
&- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2.
\end{align}

Для многочлена x^4+qx^2+rx+s дискриминант имеет вид

D=256 s^3 - 128 q^2 s^2 + 144 q r^2 s - 27 r^4 + 16 q^4 s - 4 q^3 r^2

и равенство D=0 определяет в пространстве (q,r,s) поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

  • При D < 0 многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
  • При D > 0 многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
  • При D = 0 многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

История[править | править вики-текст]

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр[2].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Rees, E. L. (1922). «Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation». The American Mathematical Monthly 29 (2): 51–55. DOI:10.2307/2972804.
  2. Matrices and Determinants — Numericana