Дисперсия случайной величины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или .

Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́ческим отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на стандартных отклонений, составляет менее . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение[править | править код]

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

где символ обозначает математическое ожидание[1][2].

Замечания[править | править код]

  • Если случайная величина дискретная, то

где  — -ое значение случайной величины,  — вероятность того, что случайная величина принимает значение ,  — количество значений случайной величины.

  • Если случайная величина непрерывна, то:

где  — плотность вероятности случайной величины.

  • В силу линейности математического ожидания, справедлива формула:
  • Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
  • Дисперсия может быть бесконечной.
  • Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :
  • Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
  • Удобная формула для вычисления смещённой оценки дисперсии (англ. biased sample variance) случайной величины по последовательности  — реализаций этой случайной величины:
    где  — несмещённая оценка
    Для получения несмещённой оценки дисперсии (англ. unbiased sample variance) правую часть вышеуказанного равенства необходимо умножить на . Несмещённая оценка обозначается :

Свойства[править | править код]

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду;
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    , где  — их ковариация;
  • Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
    , где ;
  • В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
  • Если - случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то

Условная дисперсия[править | править код]

Наряду с условным математическим ожиданием в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин .

Условной дисперсией случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина

Её свойства:

  • Условная дисперсия относительно случайной величины является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной );
  • Условная дисперсия неотрицательна: ;
  • Условная дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с );
  • Обычная дисперсия также может быть представлена как условная: ;
  • Если величины и независимы, случайная величина является константой, равной .
  • Если - две числовые случайные величины, то
откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины .

Пример[править | править код]

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
  2. Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.

Литература[править | править код]