Дифракция Френеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Схема эксперимента дифракции на круглом отверстии

Дифра́кция Френе́ля — дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятствия, по условиям, когда основной вклад в интерференционную картину дают границы экрана.

Дифракция Френеля:


Дифракция Фраунгофера:

На рисунке схематично изображён (слева) непрозрачный экран с круглым отверстием (апертура), слева от которого расположен источник света. Изображение фиксируется на другом экране — справа. Вследствие дифракции свет, проходящий через отверстие, расходится, поэтому область, которая была затемнена по законам геометрической оптики, будет частично освещённой. В области, которая при прямолинейном распространении света была бы освещённой, наблюдаются колебания интенсивности освещения в виде концентрических колец.

Дифракционная картина для дифракции Френеля зависит от расстояния между экранами и от расположения источников света. Её можно рассчитать, считая, что каждая точка на границе апертуры излучает сферическую волну по принципу Гюйгенса. В точках наблюдения на втором экране волны или усиливают друг друга, или гасятся в зависимости от разности хода.

Интеграл Френеля[править | править вики-текст]

В скалярной теории дифракции распределение электрического поля дифрагирующего света в точке (x,y,z) задаётся выражением Релея-Зоммерфельда:

где , мнимая единица, и — косинус угла между направлениями z и r. В аналитическом виде этот интеграл представим только для простейших геометрий отверстий, поэтому он вычисляется обычно численными методами.

Аппроксимация Френеля[править | править вики-текст]

Главная трудность при вычислении интеграла представляет собой выражение для r. Во-первых, упростим вычисления, сделав замену переменных:

Подставляя это выражение вместо r, найдём:

Воспользуемся разложением Тейлора в ряд

и выразим r в виде

Если мы рассмотрим все члены разложения, это будет точным выражением[1]. Подставим это выражение в аргумент экспоненциальной функции под интегралом; ключевую роль в приближении Френеля играет пренебрежение третьим членом в разложении, который предполагается малым. Чтобы это было возможным, он должен слабо влиять на показатель степени. Другими словами, он должен быть намного меньше, чем период показателя экспоненты, то есть :

Выражая k в терминах длины волны,

получим следующее соотношение:

Умножая обе стороны на , получим

или, подставляя ранее полученное выражение для ρ2,

Если это условие выполняется для всех значений x, x' , y и y' , тогда мы можем пренебречь третьим членом в разложении Тейлора. Более того, если третий член мал, то все последующие слагаемые более высоких порядков тоже малы, и ими можно пренебречь. Тогда можно аппроксимировать выражение, используя два члена разложения:

Это выражение называется приближением Френеля, а неравенство, полученное ранее, есть условие применимости этого приближения.

Дифракция Френеля[править | править вики-текст]

Условие применимости достаточно слабо и позволяет все характерные размеры взять как сравнимые величины, если апертура много меньше, чем длина пути. К тому же, так как нас интересует только малая область недалеко от источника, величины x и y много меньше, чем z, предположим , что означает , и r в знаменателе можно аппроксимировать выражением .

В противоположность дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля должна учитывать кривизну волнового фронта, чтобы правильно учесть относительные фазы интерферирующих волн.

Электрическое поле для дифракции Френеля в точке (x,y,z) дано в виде:

Это - интеграл дифракции Френеля; он означает, что, если приближение Френеля действительно, распространяющееся поле - волна, начинающаяся в апертуре и движущаяся вдоль z. Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения возможно только в редких случаях. Для дальнейшего упрощения, действительного только для намного больших расстояний от источника дифракции, см. дифракция Фраунгофера.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Приближение однако было в предыдущем шаге, когда мы предположили, что реальная волна. В действительности не существует действительного решения векторного уравнения Гельмгольца, только для скалярного. См. скалярное волновое приближение

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]