Дифференциалы высших порядков

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

.

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной[править | править код]

Для функции, зависящей от одной независимой переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

,
.

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции , при условии, что  — независимая переменная:

.

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель. Если не является независимой переменной, то дифференциал будет другим (см. ниже)[1].

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных[править | править код]

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где , а произвольные приращения независимых переменных .
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка[править | править код]

При -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .

Так, для независимой переменной второй дифференциал, как было сказано выше, имеет вид:

Если же переменная сама может зависеть от других переменных, то . В этом случае формула для второго дифференциала будет иметь вид[1]:

.

Аналогично, третий дифференциал примет вид:

.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При и  :

  • если  — независимая переменная, то
  • если и
    1. при этом, и

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения[править | править код]

  • С помощью дифференциалов, функция при условии существования её первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
  • для функции с одной переменной:
, ;
  • для функции с несколькими переменными:
,
  • Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции явлется положительно определённым (отрицательно определённым), то точка является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции является неопределённым, то в точке нет экстремума.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Баранова Елена Семеновна, Васильева Наталья Викторовна, Федотов Валерий Павлович. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. 2-е изд.. — "Издательский дом ""Питер""", 2012. — С. 196-197. — 400 с. — ISBN 9785496000123.

Литература[править | править код]

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1