Дифференциальное уравнение Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.[1]

Метод решения[править | править вики-текст]

Первый способ[править | править вики-текст]

Разделим все члены уравнения на

получим

Делая замену

и дифференцируя, получаем:

Это уравнение приводится к линейному:

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ[править | править вики-текст]

Заменим

тогда:

Подберем так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение  — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример[править | править вики-текст]

Уравнение

разделим на получаем:

Замена переменных

дает:

Делим на ,

Результат:

Литература[править | править вики-текст]

  • А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
  • В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.