Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.
Если функция
имеет производную в точке
, а функция
имеет производную в точке
, то сложная функция
также имеет производную в точке
.
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
Тогда их композиция также дифференцируема:
и её производная имеет вид[1]:

Доказательство:
Так-как
дифференцируема то можно записать её приращение как:
Где:
И так-как
тоже дифференцируема
то:
Разделив обе части на
и
получаем:
Q.E.D.
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции
где
принимает следующий вид:

Дифференциал функции
в точке
имеет вид:

где
— дифференциал тождественного отображения
:

Пусть теперь
Тогда
, и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Пусть
Тогда функция
может быть записана в виде композиции
где


Дифференцируя эти функции отдельно:


получаем

Пусть дана точка
и в этой точке заданы дифференцируемые функции
. Тогда функция
дифференцируема в точке
, и её частные производные по
выражаются следующим образом[1]:

Её дифференциал можно определить как:
, где 
В частности, матрица Якоби функции
является произведением матриц Якоби функций
и
:

- Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Пусть дана функция трёх переменных
и требуется найти её частную производную по переменной
. Функция
может быть записана как
где




Тогда частная производная функции
по переменной
будет иметь следующий вид:

Вычисляем производные:

Подставляем найденные производные:

В итоге
