Дифференцирование сложной функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке .

Одномерный случай[править | править вики-текст]

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

Замечание[править | править вики-текст]

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции где принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала[править | править вики-текст]

Дифференциал функции в точке имеет вид:

где  — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

Многомерный случай[править | править вики-текст]

Пусть даны функции где и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

.

В частности, матрица Якоби функции является произведением матриц Якоби функций и

Следствия[править | править вики-текст]

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дана функция трёх переменных и требуется найти её частную производную по переменной . Функция может быть записана как где

Тогда частная производная функции по переменной будет иметь следующий вид:

Вычисляем производные:

Подставляем найденные производные:

В итоге

См. также[править | править вики-текст]