Гладкое многообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Дифференцируемое многообразие»)
Перейти к: навигация, поиск

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки найдется её окрестность , гомеоморфная открытому множеству пространства , то называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности .

Пара , где  — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой в точке . Таким образом, каждой точке соответствует набор вещественных чисел , которые называются координатами в карте . Множество карт называется -атласом многообразия , если:

  • совокупность всех покрывает , т.е.
  • для любых таких, что , отображение:
является гладким отображением класса ;
является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты с картой

Два -атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует -атлас. Совокупность -атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые -структурами, при  — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие , наделенное -структурой, называется -гладким многообразием.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение дяют аналитическую структуру, иногда обозначаемую -структурой.

Комплексные многообразия[править | править вики-текст]

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства более общих пространств или даже , где  — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) -структуры () и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры[править | править вики-текст]

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней -структура, и на -многообразии,, — -структура, если . Наоборот, любое паракомпактное -многообразие, , можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что -многообразие нельзя наделить -структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число -неизоморфных -структур на -мерной сфере равно:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1

Отображения[править | править вики-текст]

Пусть  — непрерывное отображение -многообразий ; оно называется -морфизмом (или -отображением, , или отображением класса ) гладких многообразий, если для любой пары карт на X и на Y такой, что и отображение:

принадлежит классу . Биективное отображение , если оно и являются -отображениями, называется -изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае и и их -структуры называются -изоморфными.

Подмножества и вложения[править | править вики-текст]

Подмножество -мерного -многообразия называется -подмногообразием размерности в , если для произвольной точки существует карта -структуры , такая, что и индуцирует гомеоморфизм с (замкнутым) подпространством ; иными словами, существует карта с координатами , такая, что определяется соотношениями .

Отображение называется -вложением, если является -подмногообразием в , а  — -диффеоморфизм.

Любое -мерное -многообразие допускает вложение в , а также в Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
  • Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
  • Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
  • Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
  • Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
  • Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
  • Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.