Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова является одним из основных обобщений производной в дробном исчислении, которое позволяет брать производные нецелое число раз. Он был введён Антоном Карлом Грюнвальдом (нем.) в 1867 году и А. В. Летниковым в 1868 году.

Построение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова[править | править вики-текст]

Формулу для производной

можно применить рекурсивно для получения производных высших порядков. Например, для производной второго порядка получаем:

Предполагая, что все приращения стремятся к нулю одинаково, данное выражение можно упростить:

которое может быть строго обосновано посредством формулы конечных приращений. В общем случае, имеем (смотри биномиальные коэффициенты):

Формально, снимая ограничение, что  — положительное число, естественно определить:

Это и есть определение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова.

Другая запись[править | править вики-текст]

Определение также можно переписать проще, если ввести обозначение:

Тогда определение примет вид:

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Oldham, K. and Spanier, J. The Fractional Calculus — Publisher: Academic Press, 1974. — 234 p. — ISBN 0-12-52555-0-0.