Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию в другую функцию того же типа для каждого значения параметра . Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от в том смысле, что для целых положительных значений , представляет собой повторную производную функции порядка . Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году.[1] Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции.[2] Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом, который ввёл потенциал Риса.

Интеграл Римана — Лиувилля определяется как:

где  — гамма-функция, а  — произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции ,  — комплексное число в полуплоскости . Зависимость от точки отсчёта часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. конечно же является первообразной (первого порядка) функции , для целых положительных значений представляет собой первообразную порядка в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид[3]:

Данное выражение имеет смысл и при , с соответствующими ограничениями на .

Фундаментальными соотношениями остаются:

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство.[1] Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции .

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть  — фиксированный ограниченный интервал. Оператор отображает любую интегрируемую функцию на в функцию на , которая также интегрируем по теореме Фубини. Таким образом, определяет линейный оператор на пространстве :

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на . Таким образом, верно следующее неравенство:

Здесь обозначает норму в .

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если принадлежит , то и также принадлежит и выполняется аналогичное неравенство:

где  — норма в пространстве на интервале . Таким образом, определяет ограниченный линейный оператор из в себя. Более того, стремится к в -смысле при вдоль вещественной оси. То есть:

для всех . Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора можно доказать поточечную сходимость почти всюду.

Оператор хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой . Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа , состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

конечна. Для из преобразование Лапласа функции принимает особенно простую форму:

где . Здесь через обозначено преобразование Лапласа функции и это свойство выражает тот факт, что представляет собой Фурье-мультипликатор.

Дробные производные[править | править вики-текст]

Можно также определить производные дробного порядка от функции :

где через обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]