Доверительный интервал

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.

Определение

Доверительным интервалом параметра $\theta$ распределения случайной величины $X$ с уровнем доверия 100 %-p, порождённым выборкой $(x_1,\ldots,x_n)$, называется интервал с границами $l(x_1,\ldots,x_n)$ и $u(x_1,\ldots,x_n)$, которые являются реализациями случайных величин $L(X_1,\ldots,X_n)$ и $U(X_1,\ldots,X_n)$, таких, что

$\mathbb{P}(L \leqslant \theta \leqslant U)=p$.

Граничные точки доверительного интервала $l$ и $u$ называются доверительными пределами.

Толкование доверительного интервала, основанное на интуиции, будет следующим: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение $\theta$.

Еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра $\theta$, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Примеры

• Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки;
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.

Байесовский доверительный интервал

В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение доверительного интервала. Здесь оцениваемый параметр $\theta$ сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае — равномерным), а выборка $X$ фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский $p$-доверительный интервал — это интервал $[L, U]$, покрывающий значение параметра $\theta$ с апостериорной вероятностью $p$:

$\mathbb{P}(L \leqslant \theta \leqslant U | X) = p$.

Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval, а классический — confidence interval.

Примечания

Источники