Доверительный интервал

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.

Определение

Доверительным интервалом параметра $\theta$$\theta$ распределения случайной величины $X$$X$ с уровнем доверия p, порождённым выборкой $(x_{1},\ldots ,x_{n})$$(x_{1},\ldots ,x_{n})$, называется интервал с границами $l(x_{1},\ldots ,x_{n})$$l(x_{1},\ldots ,x_{n})$ и $u(x_{1},\ldots ,x_{n})$$u(x_{1},\ldots ,x_{n})$, которые являются реализациями случайных величин $L(X_{1},\ldots ,X_{n})$$L(X_{1},\ldots ,X_{n})$ и $U(X_{1},\ldots ,X_{n})$$U(X_{1},\ldots ,X_{n})$, таких, что

$\mathbb {P} (L\leqslant \theta \leqslant U)=p$$\mathbb {P} (L\leqslant \theta \leqslant U)=p$.

Граничные точки доверительного интервала $l$$l$ и $u$$u$ называются доверительными пределами.

Толкование доверительного интервала, основанное на интуиции, будет следующим: если уровень доверия p велик (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение $\theta$$\theta$.

Еще одно истолкование понятия доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра $\theta$$\theta$, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Более точное, хоть также не совсем строгое, толкование доверительного интервала с уровнем доверия, скажем, 95% состоит в следующем. Если провести очень большое количество независимых экспериментов с аналогичным построением доверительного интервала, то в 95% экспериментов доверительный интервал будет содержать оцениваемый параметр $\theta$$\theta$ (то есть будет выполняться $L\leqslant \theta \leqslant U$$L\leqslant \theta \leqslant U$), а в оставшихся 5% экспериментов доверительный интервал не будет содержать $\theta$$\theta$.

Примеры

• Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки;
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.

Байесовский доверительный интервал

В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение доверительного интервала. Здесь оцениваемый параметр $\theta$$\theta$ сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае — равномерным), а выборка $X$$X$ фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский $p$$p$-доверительный интервал — это интервал $[L,U]$$[L,U]$, покрывающий значение параметра $\theta$$\theta$ с апостериорной вероятностью $p$$p$:

$\mathbb {P} (L\leqslant \theta \leqslant U|X)=p$$\mathbb {P} (L\leqslant \theta \leqslant U|X)=p$.

Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval, а классический — confidence interval.

Примечания

Источники