Доверительный интервал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера[ссылка 1].

Определение[править | править исходный текст]

Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100%-p[примечание 1], порождённым выборкой (x1,…,xn), называется интервал с границами l(x1,…,xn) и u(x1,…,xn), которые являются реализациями случайных величин L(X1,…,Xn) и U(X1,…,Xn), таких, что

\mathbb{P}(L \leqslant \theta \leqslant U)=p.

Граничные точки доверительного интервала l и u называются доверительными пределами.

Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей: если p велико (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение θ.[ссылка 2]

Еще одно истолкование понятию доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра θ, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.

Примеры[править | править исходный текст]

Байесовский доверительный интервал[править | править исходный текст]

В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение доверительного интервала. Здесь оцениваемый параметр \theta сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае — равномерным), а выборка X фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский p-доверительный интервал — это интервал [L, U], покрывающий значение параметра \theta с апостериорной вероятностью p:

\mathbb{P}(L \leqslant \theta \leqslant U | X) = p.

Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval, а классический — confidence interval.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. величину, дополняющую доверительную вероятность до единицы, обычно обозначают α
Источники
  1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. – 9-е изд. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с. – ISBN 5-06-004214-6
  2. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т. 1: Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина. — М.: Финансы и статистика, 1989. — 510 с. — ISBN 5-279-00245-3 (Определение 4.2.1.; стр. 149.)