Правильный додекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Додекаэдр»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Правильный додекаэдр
Dodecahedron.jpg
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип правильный многогранник
Свойства выпуклый
Комбинаторика
Элементы
12 граней

30 рёбер
20 вершин

Χ = 2
Грани правильные пятиугольники
Конфигурация вершины 53
Вершинная фигура
Dodecahedron vertfig.png
Развёртка
Dodecahedron flat.svg
Двойственный многогранник правильный икосаэдр
Классификация
Обозначения U23, C26, W5
Символ Шлефли {5,3}
Символ Визоффа[en] 3 | 2 5
Диаграмма Дынкина CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Группа симметрии Ih, H3, [5,3], (*532)
Группа вращения I, [5,3]<sup+, (532)
Количественные данные
Длина ребра
Площадь поверхности
Объём
Двугранный угол
Телесный угол при вершине
Commons-logo.svg Правильный додекаэдр на Викискладе

Пра́вильный додека́эдр (от др.-греч. δώδεκα — «двенадцать» и εδρον — «грань») — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников[1], являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Додекаэдр и его описанная сфера

История[править | править код]

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости[2][3].

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»[4]. Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал» строит додекаэдр на рёбрах куба[5][6]:132-136. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях[7][6]:318-319[8].

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Основные формулы[править | править код]

Если за длину ребра принять , то площадь поверхности додекаэдра равна

Объём додекаэдра:

Радиус описанной сферы[9]:

Радиус вписанной сферы[9]:

Свойства[править | править код]

  • Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
  • Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен arccos(-1/√5)≈116°,565[9].
  • Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°, телесный (трёхгранный) угол равен arccos(-11/5√5)≈2,9617 стерадиан.
  • В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
  • Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
  • В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.

Элементы симметрии додекаэдра[править | править код]

  • Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
  • Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Связь со сферическим замощением[править | править код]

Правильный додэкаэдр также индуцирует замощение сферы правильными пятиугольниками.

Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron stereographic projection.svg
Ортографическая проекция[en] Стереографическая проекция

Интересные факты[править | править код]

В культуре[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Stefano De' Stefani (1885-86). «Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa». Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
  3. Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. — arXiv:1205.0706.
  4. Платон. «Тимей»
  5. Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17.
  6. 1 2 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  7. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 156—163.
  8. Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Dover Publications, 2013. — P. 117—118.
  9. 1 2 3 Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Dodecahedron (англ.) (2005-2007). Проверено 1 июня 2014.
  10. В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
  11. The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.).
  12. Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.).
  13. Jeffrey Weeks. The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано 4 ноября 2012 года.
  14. 1 2 A. T. White. Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3.

Ссылки[править | править код]