Додекаэдр Билинского

Додекаэдр Билинского
(вращающаяся модель)
Свойства	выпуклый, зоноэдр
Комбинаторика
Элементы	12 граней 24 ребра 14 вершин Χ = 2
Грани	12 ромбов
Конфигурация вершины	4+4(4.4.4) 4+2(4.4.4.4)
Классификация
Группа симметрии	D2h
Медиафайлы на Викискладе

Додекаэдр Билинского — многогранник (зоноэдр), составленный из 12 одинаковых золотых ромбов.

Топологически изоморфен ромбододекаэдру, но, в отличие от него, не является изоэдральным (хотя всего его грани также конгруэнтны) и имеет другую группу симметрии.

Грани додекаэдра Билинского — ромбы с отношением диагоналей, равным золотому сечению $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618;$ они несколько более вытянуты, чем грани ромбододекаэдра, представляющие собой ромбы с отношением диагоналей ${\sqrt {2}}\approx 1{,}414.$

• 
  Грань ромбододекаэдра
• 
  Грань додекаэдра Билинского

Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся четыре грани своими острыми углами; в 4 вершинах сходятся три грани тупыми углами; в 4 вершинах сходятся одна грань острым углом и две тупыми; в 4 вершинах сходятся три грани острыми углами и одна тупым.

У додекаэдра Билинского 24 ребра равной длины. При 12 рёбрах (примыкающих к вершинам, отмеченным на рисунке красным) двугранные углы равны $144^{\circ };$ при 8 рёбрах (между зелёной и синей вершинами) — $108^{\circ };$ при 4 рёбрах (между чёрной и зелёной вершинами) — $72^{\circ }.$

В координатах

Проекции на координатные плоскости

Додекаэдр Билинского можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• $\left(0;\;0;\;\pm \Phi ^{2}\right),$
• $\left(0;\;\pm 1;\;\pm 1\right),$
• $\left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm \Phi \right),$
• $\left(\pm \Phi ;\;\pm 1;\;0\right).$

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Метрические характеристики

Если додекаэдр Билинского имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S={\frac {24}{\sqrt {5}}}\;a^{2}\approx 10{,}7331263a^{2},$

$V={\frac {4}{5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a^{3}\approx 2{,}4621468a^{3}.$

История

Впервые данный многогранник встречается под названием «додекаромб» в 1752 году на иллюстрации в книге английского математика Джона Лоджа Коули.

Заново найден в 1960 году хорватским математиком Станко Билинским, который назвал его «ромбическим додекаэдром второго рода». Открытие Билинского заполнило остававшийся незамеченным 75 лет пробел в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями, описанной Евграфом Фёдоровым.

Гарольд Коксетер в статье 1962 года ошибочно утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен аффинным преобразованием ромбододекаэдра. Это утверждение ложно.

Доказательство

Рассмотрим на иллюстрациях выше два отрезка: диагональ многогранника, соединяющую две синих вершины $\left(-\Phi ;\;-1;\;0\right),$ $\left(\Phi ;\;1;\;0\right),$ и диагональ грани, соединяющую красную вершину $\left(0;\;-1;\;1\right)$ с зелёной $\left(\Phi ;\;0;\;\Phi \right).$

В додекаэдре Билинского эти отрезки не параллельны, в ромбододекаэдре же соответствующие им отрезки — параллельны. А поскольку аффинное преобразование сохраняет параллельность отрезков, получить один многогранник из другого при помощи аффинных растяжений и сжатий нельзя.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Додекаэдр Билинского (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• David I. McCooey. Bilinski's Dodecahedron