Домики и колодцы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Задача о трёх домиках и трёх колодцах — классическая математическая головоломка: проложить от каждого из трёх колодцев к каждому из трёх домиков непересекающиеся тропинки. Формулировка задачи приписывается Эйлеру. В современной литературе иногда встречается в следующей форме: возможно ли к каждому из трёх домиков проложить без пересечений на плоскости трубы (рукава) от трёх источников — электроснабжения, газоснабжения и водоснабжения («вода, газ, электричество»).

Головоломка не имеет решения: топологическая теория графов, изучающая вложение графов в поверхности, даёт отрицательный ответ на вопрос о возможности изобразить соответствующий граф на плоскости без пересечений рёбер.

Полный двудольный граф , представляющий задачу, называют «домики и колодцы», «коммунальный граф» (англ. utility graph), граф Томсена[1].

Формализация[править | править код]

Граф

В терминах теории графов задача сводится к вопросу о планарности полного двудольного графа . Этот граф эквивалентен циркулянтному графу . Казимир Куратовский в 1930 году доказал, что непланарен, а потому задача не имеет решения[2].

Одно из доказательств невозможности найти плоское вложение использует разбор случаев, привлекая теорему Жордана, рассматриваются различные возможности расположения вершин по отношению к циклам длины 4 и показывается, что они несовместимы с требованием планарности[3]. Также можно показать, что для любого двудольного планарного графа без мостов с вершинами и рёбрами , если скомбинировать формулу Эйлера (здесь  — число граней планарного графа) с наблюдением, что число граней не превышает половины числа рёбер (поскольку любая грань имеет не менее четырёх рёбер и каждое ребро принадлежит ровно двум граням). При этом в графе : и , что нарушает неравенство, так что этот граф не может быть планарным.

Неразрешимость задачи непосредственно следует из каждой из следующих важных теорем о планарных графах: теоремы Куратовского, согласно которой планарные графы — это в точности те графы, которые не содержат подграфов, гомеоморфных и полному графу , и теоремы Вагнера о том, что планарные графы — это в точности те графы, которые не содержат ни , ни в качестве минора, содержат в себе этот результат.

Свойства K3,3[править | править код]

  • Граф является ламановым, что означает, что он образует минимальную структурную жёсткость[en], когда он вкладывается в плоскость (с пересечениями). Это пример минимального ламанова графа, в то время как другой непланарный граф не является минимально жёстким.

Вариации и обобщения[править | править код]

Изображение на торе.
Изображение с единственным скрещиванием.
  • является тороидальным, что означает возможность вложить его в тор. Эквивалентным утверждением является равенство рода графа единице, откуда следует, что он не может быть вложен в поверхность с родом меньше единицы. Поверхность с родом равным единице эквивалентна тору.
    • В частности головоломка про домики и колодцы имеет решение на поверхности кружки (такие кружки даже можно увидеть в продаже).
  • Проблема Заранкевича, также известная как задача о кирпичном заводе Пала Турана, задаёт более общий вопрос — найти формулу минимального числа скрещиваний в рисунке полного двудольного графа , зависящую от чисел и двух долей графа. Граф можно нарисовать всего с одним скрещиванием, но не с нулём, так что его число скрещиваний равно единице. Связана задача с тем, что во время войны Туран работал на кирпичном заводе, и от каждой печи к каждому складу была проведена узкоколейка. Вагонетки трудно толкать по скрещениям, отсюда и задача: как сделать, чтобы пересечений было поменьше.

Примечания[править | править код]

  1. W. G. Brown. On graphs that do not contain a Thomsen graph // Canadian Mathematical Bulletin. — 1966. — Т. 9. — С. 281–285. — doi:10.4153/CMB-1966-036-2.
  2. Результат является следствием более общего факта, установленного Куратовским — теоремы Куратовского; в русскоязычной литературе утверждается, что доказательство этого факта впервые найдено Понтрягиным в 1927 году, но не было своевременно опубликовано.
  3. Richard J. Trudeau. Introduction to Graph Theory. — Corrected, enlarged republication.. — New York: Dover Pub., 1993. — С. 68–70. — ISBN 978-0-486-67870-2.
  4. S. R. Campbell, M. N. Ellingham, Gordon F. Royle. A characterisation of well-covered cubic graphs // Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. — 1993. — Т. 13. — С. 193–212.

Ссылки[править | править код]