Дробное интегро-дифференцирование

Дробное интегро-дифференцирование
Основная тема	Фрактальное исчисление[d]
Определяющая формула	$\mathbb {D} ^{q}f$

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Обычно оператор производной/интеграла дробного порядка обозначается следующим образом: $\mathbb {D} _{t}^{q}.$

Определения

Три наиболее употребительных формулы:

• Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(t)^{q}}}=$
	$={\frac {1}{\Gamma (q-n)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )\,d\tau ,$

где $n=\lceil q\rceil$.

• Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(t-a)^{q}}}=$
	$=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right).$

• Интегро-дифференцирование Вейля

Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как ${\mathcal {F}}$:

$F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.$

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

${\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].$

Поэтому,

$\mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\},$

что сводится к

$\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.$

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном ${\mathcal {L}}$, дифференцирование заменяется умножением

${\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].$

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно $\mathbb {D} ^{q}f(t)$, получаем

$\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.$

Основные свойства

• Линейность:

$\mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+\mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);$

$\mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).$

• Правило нуля:

$\mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.$

• Дробное интегро-дифференцирование произведения:

$\mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{q-j}g(t).$

• Полугрупповое свойство:

$\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b}f(t).$

в общем случае не выполняется.

Некоторые важные формулы

• $\mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q};$
• $\mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right);$
• $\mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}.$

См. также

• Дифференциальный оператор
• Дробная производная
• Дробная динамика

Литература

• Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 688 с.
• Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — М.: Наука, 2005. — 199 с.
• Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — ISBN 5-9221-0440-3.
• Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5.

• Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — М., Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.
• Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006.
• Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. — New York: Gordon and Breach, 1993.
• Miller K., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. — New York: Wiley, 1993.
• Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. — Imperial College Press, 2010. — 368 p.
• Podlubny I. Fractional Differential Equations. — San Diego: Academic Press, 1999.
• Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus // Lect. Notes Math. — 1975. — Vol. 457. — P. 1—36.
• Tarasov V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. — Springer, 2010. — 450 p.
• Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. — Springer, Higher Education Press, 2012. — 385 p.

Ссылки

• Fractional Calculus and Applied Analysis (1998—2014) и Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
• Progress in Fractional Differentiation and Applications
• Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)