Кольцо с единицей

Кольцо с единицей — кольцо, содержащее двусторонний нейтральный элемент относительно умножения, называемый единицей кольца.

Кольцами с единицей являются кольца целых, рациональных, действительных чисел, кольцевая единица в них совпадает с числом 1. Кольцо матриц — кольцо с единицей — единичной матрицей. Кольцо многочленов также является кольцом с единицей — многочленом 1 (нулевой степени). Единицей операторной алгебры является тождественный оператор.

Всякое подкольцо кольца с единицей также является кольцом с единицей. Тривиальное кольцо — кольцо с единицей из одного элемента, единственное из колец, в котором единица совпадает с нулём — нейтральным элементом относительно сложения (в поле по определению требуется, чтобы существовала единица, отличная от нуля). В категории колец с единицей $\mathbf {Ring}$ тривиальное кольцо является терминальным объектом, начальным объектом в ней является кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$. В отличие от общей категории колец $\mathbf {Rng}$, категория колец с единицей полна и кополна.

В кольцах с единицей может быть введено понятие обратимого элемента — элемента $u$, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:

$\exists v_{1}:v_{1}\,u=1$,

$\exists v_{2}:u\,v_{2}=1$;

из ассоциативности умножения следует, что в таком случае $v_{1}=v_{2}$, откуда следует, что выбор единственнен. Обратимые элементы иногда называют алгебраическими единицами (англ. unity, фр. unité), в связи с чем иногда возникает неоднозначность собственно с единицей кольца.

Если $e\in R$ — идемпотент в кольце, и идеалы $eR$ и $Re$ совпадают, то эти идеалы являются кольцом с единицей $e$.

Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент $\mathbf {1}$ и определив умножение на линейных комбинациях как:

$(a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }$

с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент $\mathbf {1}$ будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент. Поскольку всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над кольцом целых чисел $\mathbb {Z}$, то и всякое кольцо можно превратить в кольцо с единицей таким же построением.

В градуированной алгебре единица (если существует) обязана иметь степень 0.

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1968. — 431 с.