Единичная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат[1]. Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций.

Свойства и связанные понятия[править | править код]

Внутренность единичной окружности называется единичным кругом.

Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство . Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности.

Тригонометрические функции[править | править код]

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку на единичной окружности с началом координат , получается отрезок, находящийся под углом относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получим[2]:

,
.

При подстановке этих значений в уравнение окружности получается:

.

(Используется следующая общепринятая нотация: .)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

для всех целых чисел , то есть для .

Комплексная плоскость[править | править код]

В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел, модуль которых равен 1:

Любое ненулевое комплексное число может быть однозначно записано в виде где число имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности,

Множество является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, содержит важные в алгебре конечные группы корней -й степени из единицы, образующие вдоль единичной окружности вершины правильного -угольника.

Радиан как длина дуги единичной окружности

Радианная мера[править | править код]

Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла)[3].

Вариации и обобщения[править | править код]

Понятие единичной окружности обобщается до -мерного пространства (), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]