Жорданова матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем , с блоками вида

Каждый блок называется жордановой клеткой с собственным значением (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Согласно теореме о жордановой нормальной форме, для произвольной квадратной матрицы над алгебраически замкнутым полем (например, полем комплексных чисел ) существует квадратная невырожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица над , такая, что

является жордановой матрицей. При этом называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы . В этом случае также говорят, что жорданова матрица в поле подобна (или сопряжена) данной матрице . И наоборот, в силу эквивалентного соотношения

матрица подобна в поле матрице . Нетрудно показать, что введённое таким образом отношение подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности. Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Количество жордановых клеток порядка с собственным значением в жордановой форме матрицы можно вычислить по формуле
где  — единичная матрица того же порядка что и , символ обозначает ранг матрицы, а , по определению, равен порядку . Вышеприведённая формула следует из равенства

История[править | править вики-текст]

Одним из первых такую форму матрицы рассматривал Жордан.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Над полем вещественных чисел собственные значения матрицы (то есть корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: , где и — вещественные числа, . В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок , и к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида , отвечающие парам комплексных собственных значений:[1][2]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  2. Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

Литература[править | править вики-текст]