Задача Архимеда о быках

Задача Архимеда о быках — трактат Архимеда (287—212 годы до н. э.). Античный учёный ставит математическую задачу, полное решение которой было найдено лишь в XX веке с использованием компьютерной техники.

Издание

«Задачу о быках» обнаружил Готхольд Эфраим Лессинг в греческой рукописи, состоящей из стихотворения в 44 строки, в библиотеке герцога Августа в Вольфенбюттеле в Германии. Текст задачи был опубликован в издании «Beiträge zur Geschichte und Litteratur» в Брауншвейге в 1773 году. Авторство Архимеда у антиковедов не вызывает сомнений, так как и по стилю, и по характеру трактат соответствует математическим эпиграммам той эпохи. Задача о быках авторства Архимеда упоминается в одном из античных схолиев к диалогу Платона «Хармид, или О благоразумии».

Суть задачи

Архимед предлагает читателю найти количество быков бога Солнца Гелиоса при следующих условиях:

• у Гелиоса имелось четыре стада, каждое из которых отличалось по цвету
• количество белых быков было равным $=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)$ тёмных + рыжим быкам
• тёмных быков $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$ пёстрых + рыжим быкам
• пёстрых быков $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$ белых + рыжим быкам
• белых коров $=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)$ тёмного стада
• тёмных коров $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$ пёстрого стада
• пёстрых коров $=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)$ рыжего стада
• рыжих коров $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$ белого стада

После этого Архимед предлагает найти количество быков и коров разного цвета, указывая, что тот у кого это получится не является невеждой.

Вторая часть задачи включает дополнительные условия:

• количество белых и тёмных быков — квадратное число
• количество пёстрых и рыжих быков — треугольное число

Тот, кто сможет при этих условиях определить число голов скота в стадах Гелиоса, по мнению Архимеда, является мудрецом.

Решение

Решение первой части задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Если обозначить количество быков соответствующего цвета символами Б, Т, П и Р, а коров — б, т, п и р, то первые уравнения можно отобразить следующим образом:

• Б$=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)$ Т + Р → 6Б = 5Т + 6Р
• Т$=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)$ П + Р → 20Т = 9П + 20Р
• П$=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)$ Б + Р → 42П = 13Б + 42Р

Последовательно решая все семь уравнений будут получены следующие значения:

• Б — 10 366 482
• Т — 7 460 514
• П — 7 358 060
• Р — 4 149 387
• б — 7 206 360
• т — 4 893 246
• п — 3 515 820
• р — 5 439 213

Общее количество голов скота у Гелиоса таким образом составляло 50 389 082.

Вторая часть задачи, то есть поиск решения, которое удовлетворяло бы условиям первой и второй части, сводится к уравнению Пелля. Её решение было опубликовано в 1880 году. Общее количество быков приближённо равно $7.76\times 10^{206544}$. Чтобы записать все 206 545 цифр необходимо 660 страниц с 2500 знаков на каждой. Впервые точное числовое значение решения задачи о быках было распечатано в 1965 году с использованием компьютерной техники.

Примечания

Комментарии

Источники

Ссылки

• Bell, A. H. (1895), "The «Cattle Problem». By Archimedies 251 B. C.", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 2 (5): 140—141, doi:10.2307/2968125, JSTOR 2968125