Задача Бертрана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Задача Бертрана — задача, обратная к задаче двух тел и состоящая в определении силы взаимодействия по известным свойствам траекторий движения.

Первая задача Бертрана[править | править код]

Первая задача Бертрана. Найти закон сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющей её описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные условия.

Эта задача была успешно решена Дарбу и Альфеном[1] при дополнительном предположении, что сила центральная, а затем удалось отбросить и это условие[2]. Оказалось, что таких взаимодействия два — закон всемирного тяготения и закон Гука.

Вторая задача Бертрана[править | править код]

Предположение о центральности силы, впрочем, можно было бы сделать и из общих соображений симметрии задачи.

Вторая задача Бертрана. Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость меньше некоторого предела, найти закон этой силы.

Ответ короток: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.

Задача решена самим Бертраном[3]. Наиболее полное решение приведено в заметке Дарбу к механике Депейру[4]

Задача Кенигса[править | править код]

Кенигс (Koenigs G.) предложил еще более общую задачу:

Задача Кенигса. Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы.

Как это ни удивительно, но ответ тот же: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.

Исчерпывающее решение задачи дано самим Кенигсом[5]. Идея доказательства сводится к доказательству замкнутости аналитической финитной орбиты[6], что сводит задачу к предыдущей.

Историческая справка[править | править код]

Задачи определения вида сил при движении тела по орбитам в виде конических сечений и вида орбит по заданному закону сил поставлены и полностью решены[7] Исааком Ньютоном в I книге "Математических начал" с использованием разработанного им синтетического метода, объединяющего геометрические доказательства основных теорем математического анализа и теории пределов[8] с созданной им[9] теорией аналитических рядов на основе бинома Ньютона[10].

В отделе III (О движении тел по эксцентричным коническим сечениям) доказывается, что движение по коническим сечениям возможно лишь для закона обратных квадратов (Предложения XI - XIII), либо для закона первой степени (Гука, Предложение Х). Причём первый случай отвечает направлению силы к фокусу конического сечения, а второй — в геометрический центр эллипса. В Отделе II предварительно доказывается, что движение тела по части любой гладкой кривой, лежащей в плоскости, может быть сведено к движению в поле некоторой центральной силы с притягивающим центром на этой плоскости (Предложение VII, Следствия 2 и 3).

В отделе IХ (О движении тел по подвижным орбитам и о перемещении апсид) доказывается с использованием аналитических рядов и предельного перехода от орбиты, близкой к кругу, к круговой, что замкнутая орбита может быть только при показателе степени +1 (закон Гука, Пример 2) или -2 (закон тяготения, Пример 3).

В предисловии к «Началам» автор перевода и редактор первого издания «Начал» на русском языке механик А.Н. Крылов отмечает, что первый перевод на английский язык был сделан в 1727 году, на французский - лишь в 1759 маркизой дю Шатле, и работа Ньютона на современных европейских языках стала доступной лишь спустя много десятилетий после первого её издания в 1686 году.

Примечания[править | править код]

  1. Это решение удалось упростить Полю Аппелю; см. Аппель Механика, Т. 1, п. 232
  2. Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.
  3. Bertrand J. //C.R. T. LXXVII. P. 849—853.
  4. Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461—466. Эта же задача представлена в виде цикла задач к § 8 гл. 2 кн. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.
  5. Koenigs G. // Bull. de la Société de France, t. 17, p. 153—155.
  6. М. Д. Малых. Задача Бертрана и априорность закона всемирного тяготения. Материалы к факультативному курсу лекций, читаемому на кафедре математики физического факультета МГУ.
  7. В.И. Арнольд. Параграф 6. Доказал ли Ньютон эллиптичность орбит? // Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. — 1-е. — Москва: Наука, 1989. — 96 с. — (Современная математика для студентов). — 36 000 экз. — ISBN 5-02-013935-1.
  8. Н.Н. Лузин. Ньютонова теория пределов // Собрание сочинений / М.А. Лаврентьев. — Москва: АН СССР, 1959. — Т. III. — С. 375–402.
  9. С.С. Петрова, Д.А. Романовска. К истории открытия ряда Тейлора / А.И. Юшкевич. — Москва: Наука, 1980. — С. 10-24. — (Историко-математические исследования, выпуск XXV).
  10. Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA / под. ред. Л.С. Полака, А.Н. Крылова, пер. с лат. А.Н. Крылова. — 4-е. — Москва: URSS, 2016. — 688 с. — ISBN 978-5-9710-4231-0.