Задача Минковского

Задача Минковского:

существует ли замкнутая выпуклая гиперповерхность $F$ , у которой гауссова кривизна $G(n)$ является заданной функцией единичного вектора внешней нормали $n$ .

Поставлена Минковским, которому принадлежит обобщённое решение задачи в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности $F$ , даже если $G(n)$ — аналитическая функция. Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере $S$ непрерывная положительная функция $G(n)$ удовлетворяет условию

\int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,

то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая поверхность $F$ , для которой $G(n)$ является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью $n$ .

Регулярное решение задачи Минковского дано А. В. Погореловым в 1971 году. В частности, он доказал, что если $K(n)$ принадлежит классу $C^{m}$ , $m\geq 3$ , то получаемая поверхность $F$ принадлежит классу гладкости $C^{m+1,\alpha }$ , а в случае аналитичности $K(n)$ поверхность $F$ также оказывается аналитической.