Задача одной плитки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача одной плитки (англ. einstein problem) — геометрическая проблема, ставящая вопрос о существовании одной протоплитки[en], которая образует непериодическое множество плиток[en], то есть о существовании фигуры, копиями которой можно замостить пространство, но только непериодичным[en] способом. В источниках на английском языке такие фигуры называют «einsteins» — игра слов, нем. ein stein означает «один камень», и так же записывается фамилия физика Альберта Эйнштейна. В зависимости от конкретного определения непериодичности, а именно, какие множества можно считать плитками и как их можно соединять, проблему можно считать открытой или решённой. Задачу одной плитки можно рассматривать как естественное продолжение второй части восемнадцатой проблемы Гильберта[en], в которой задаётся вопрос о многограннике, копиями которого можно заполнить трёхмерное евклидово пространство, причём никакое заполнение пространства копиями этого многогранника не должно быть изоэдральным[en] [1]. Такие неизоэдральные тела[en] были найдены Карлом Райнхардом[en] в 1928 году, но эти тела заполняют пространство периодическим образом.

Предложенное решение[править | править код]

Плитка Соколара – Тейлора[en] является предложенным решением задачи одной плитки.

В 1988 году Петер Шмитт обнаружил непериодическую протоплитку для трёхмерного евклидова пространства. Хотя никакое заполнение этим телом не допускает параллельный перенос, некоторые заполнения имеют винтовую симметрию[en]. Операция винтовой симметрии имеет вид композиции параллельного переноса и вращения на угол, несоизмеримый с π, так что никакое число повторений этих операций не приведёт к простому параллельному переносу. Эта конструкция была позднее использована Джоном Конвеем и Людвигом Данцером для построения выпуклой непериодической плитки, плитки Шмитта — Конвея — Данцера. Наличие винтовой симметрии явилось следствием требования непериодичности[2]. Хаим Гудман-Штраусс предложил считать мозаики строго апериодичными, если для них не существует бесконечной циклической группы движений евклидова пространства[en], являющихся симметриями мозаики, и называть строго апериодичными только те наборы плиток, которые приводят к строго апериодичным мозаикам, остальные наборы плиток тогда называются слабо апериодичными [3].

В 1996 году Петра Гуммельт построил десятиугольную плитку с рисунком и показал, что при разрешении двух типов перекрытия пар плиток ими можно замостить плоскость, причём только апериодичным образом [4]. Обычно под мозаикой понимается заполнение без перекрытия, так что плитку Гуммельта нельзя считать апериодической протоплиткой. Апериодическое множество плиток на евклидовой плоскости, которое состоит только из одной плитки — плитки Соколара – Тейлора[en] — было предложено в начале 2010-х годов Джошуа Соколаром и Джоаном Тейлором [5]. Эта конструкция вовлекает правила соединения, правила, ограничивающие относительную ориентацию двух плиток, и правила соединения рисунков на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. Можно использовать плитки без рисунков и без правил ориентации, но тогда плитки не будут связными. Построение можно распространить на трёхмерное пространство с использованием связных плиток и без правил соединения, но эти плитки могут быть выложены с периодичностью в одном направлении, так что это лишь слабо непериодическая мозаика. Более того, плитки не односвязны.

Существование строго апериодических множеств, состоящих из одной связной плитки без правил соединения, остаётся нерешённой проблемой.

Примечания[править | править код]

  1. Senechal, 1996, pp. 22-24.
  2. Radin, 1995, pp. 3543–3548.
  3. Goodman-Strauss, 2000.
  4. Gummelt, 1996, pp. 1–17.
  5. Socolar, Taylor, 2011, pp. 2207-2231.

Ссылки[править | править код]