Закон Ома

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Зако́н О́ма — эмпирический физический закон, определяющий связь электродвижущей силы источника или электрического напряжения U с силой тока I и сопротивлением проводника R (для участка цепи):

 I = \frac{ U }{ R } .

Закон открыт в 1826 году Георгом Омом и назван в его честь.

Ом записал свой закон (для полной цепи) в виде[1]:

 X\! = { a \over { b + l } } , \qquad(1)

где:

  • X — показания гальванометра; в современных обозначениях — сила тока I;
  • a — величина, характеризующая свойства источника напряжения, постоянная (константа) в широких пределах и не зависящая от величины тока; в современных обозначениях — электродвижущая сила (ЭДС)  \varepsilon\!;
  • l — величина, определяемая длиной соединяющих проводов; в современных обозначениях — сопротивление внешней цепи R;
  • b — параметр, характеризующий свойства всей электрической установки; в современных обозначениях — внутреннее сопротивление источника r.

В современных обозначениях закон Ома (1) имеет вид:

 I\! = { \varepsilon\! \over { R + r } } , \qquad(2)

где:

Из закона Ома для полной цепи вытекают два следствия:

  • при r << R:
  • при r >> R:
    • сила тока не зависит от свойств внешней цепи (от величины нагрузки);
    • источник может быть назван источником тока.

Часто в школьных учебниках и научно-популярной литературе «законом Ома» называют выражение

 U\! = I \cdot R , \qquad(3)

где U\! есть напряжение, падение напряжения или разность потенциалов между началом и концом участка проводника.

Выразив ЭДС из (2) и подставив (3), получим:

 \varepsilon\! = I \cdot r + I \cdot R = \operatorname{U}(r) + \operatorname{U}( R ) , \qquad(4)

где:

  • \operatorname{U}(r) — падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника;
  • \operatorname{U}(R) — падение напряжения на нагрузке (на внешней цепи).

Сумма падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника \operatorname{U}(r) и на нагрузке (внешней цепи) \operatorname{U}(R) равна ЭДС источника.

\operatorname{U}(R) называют «напряжением на зажимах», поскольку именно его значение показывает вольтметр, подключённый к началу и концу замкнутой цепи. \operatorname{U}(R) всегда меньше ЭДС.

К формуле (3), записанной в виде

 I\! = { U \over R } , \qquad(5)

применима другая формулировка:

« Сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению данного участка цепи. »

Выражение (5) можно переписать в виде:

 I\! = U \cdot G , \qquad(6)

где коэффициент пропорциональности G = 1/R назван проводимость или электропроводность. Изначально единицей измерения проводимости был Ом-1 или 1/Ом — «Mо»[2], в международной системе единиц (СИ) единицей измерения проводимости является си́менс (русское обозначение: См; международное: S), величина которого равна 1/Ом.

Мнемоническая диаграмма для закона[править | править вики-текст]

Схема, иллюстрирующая три составляющие закона Ома
Диаграмма, помогающая запомнить закон Ома. Нужно закрыть искомую величину, и два других символа дадут формулу для её вычисления

В соответствии с этой диаграммой формально может быть записано выражение:

R\!= {U \over I}, \qquad(7)

которое всего лишь позволяет вычислить (применительно к известному току, создающему на заданном участке цепи известное напряжение), сопротивление этого участка. Но математически корректное утверждение о том, что сопротивление проводника растёт прямо пропорционально приложенному к нему напряжению и обратно пропорционально пропускаемому через него току, физически ложно.

В специально оговорённых случаях сопротивление может зависеть от этих величин, но по умолчанию оно определяется лишь физическими и геометрическими параметрами проводника:

R\!= {\varrho l \over s}, \qquad(8)

где:

  • \varrho \! — удельное электрическое сопротивление материала, из которого сделан проводник,
  • l\! — его длина
  • s\! — площадь его поперечного сечения

Закон Ома и ЛЭП[править | править вики-текст]

Одним из важнейших требований к линиям электропередачи (ЛЭП) является уменьшение потерь при доставке энергии потребителю. Эти потери в настоящее время заключаются в нагреве проводов, то есть переходе энергии тока в тепловую энергию, за что ответственно омическое сопротивление проводов. Иными словами задача состоит в том, чтобы довести до потребителя как можно более значительную часть мощности источника тока P\! =  {\varepsilon\! I\!} при минимальных потерях мощности в линии передачи P (r)\! =  UI , где U\! = Ir  , причём r\! на этот раз есть суммарное сопротивление проводов и внутреннего сопротивления генератора, (последнее всё же меньше сопротивления линии передач).

В таком случае потери мощности будут определяться выражением:

P(r) = \frac{P^2 r}{\varepsilon ^2}.  \qquad(9)


Отсюда следует, что при постоянной передаваемой мощности её потери растут прямо пропорционально длине ЛЭП и обратно пропорционально квадрату ЭДС. Таким образом, желательно всемерное её увеличение, что ограничивается электрической прочностью обмотки генератора. И повышать напряжение на входе линии следует уже после выхода тока из генератора, что для постоянного тока является проблемой. Однако для переменного тока эта задача много проще решается с помощью использования трансформаторов, что и предопределило повсеместное распространение ЛЭП на переменном токе. Однако при повышении напряжения в ней возникают потери на коронирование и возникают трудности с обеспечением надёжности изоляции от земной поверхности. Поэтому наибольшее практически используемое напряжение в дальних ЛЭП обычно не превышает миллиона вольт.

Кроме того, любой проводник, как показал Дж. Максвелл, при изменении силы тока в нём излучает энергию в окружающее пространство, и потому ЛЭП ведёт себя как антенна, что заставляет в ряде случаев наряду с омическими потерями брать в расчёт и потери на излучение.

Закон Ома в дифференциальной форме[править | править вики-текст]

Сопротивление R\! зависит как от материала, по которому течёт ток, так и от геометрических размеров проводника.

Полезно переписать закон Ома в так называемой дифференциальной форме, в которой зависимость от геометрических размеров исчезает, и тогда закон Ома описывает исключительно электропроводящие свойства материала. Для изотропных материалов имеем:

\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E}

где:

Все величины, входящие в это уравнение, являются функциями координат и, в общем случае, времени. Если материал анизотропен, то направления векторов плотности тока и напряжённости могут не совпадать. В этом случае удельная проводимость \sigma_{ij} является симметричным тензором ранга (1, 1), а закон Ома, записанный в дифференциальной форме, приобретает вид:

j_i = \sum_{i=1}^3\sigma_{ij}E_j.

Раздел физики, изучающий течение электрического тока (и другие электромагнитные явления) в различных средах, называется электродинамикой сплошных сред.

Закон Ома для переменного тока[править | править вики-текст]

Вышеприведённые соображения о свойствах электрической цепи при использовании источника (генератора) с переменной во времени ЭДС остаются справедливыми. Специальному рассмотрению подлежит лишь учёт специфических свойств потребителя, приводящих к разновремённости достижения напряжением и током своих максимальных значений, то есть учёта фазового сдвига.

Если ток является синусоидальным с циклической частотой \omega, а цепь содержит не только активные, но и реактивные компоненты (ёмкости, индуктивности), то закон Ома обобщается; величины, входящие в него, становятся комплексными:

\mathbb{U} = \mathbb{I} \cdot Z

где:

  • U = U0eiωt — напряжение или разность потенциалов,
  • I — сила тока,
  • Z = Reiδ — комплексное сопротивление (электрический импеданс),
  • R = Ra2 + Rr2 — полное сопротивление,
  • Rr = ωL − 1/(ωC) — реактивное сопротивление (разность индуктивного и емкостного),
  • Rа — активное (омическое) сопротивление, не зависящее от частоты,
  • δ = − arctg (Rr/Ra) — сдвиг фаз между напряжением и силой тока.

При этом переход от комплексных переменных в значениях тока и напряжения к действительным (измеряемым) значениям может быть произведён взятием действительной или мнимой части (но во всех элементах цепи одной и той же!) комплексных значений этих величин. Соответственно, обратный переход строится для, к примеру, U=U_0\sin(\omega t+\varphi) подбором такой \mathbb{U}=U_0e^{i(\omega t + \varphi)}, что \operatorname{Im} \mathbb{U} = U. Тогда все значения токов и напряжений в схеме надо считать как F=\operatorname{Im} \mathbb{F}

Если ток изменяется во времени, но не является синусоидальным (и даже периодическим), то его можно представить как сумму синусоидальных Фурье-компонент. Для линейных цепей можно считать компоненты фурье-разложения тока действующими независимо.

Трактовка и пределы применимости закона Ома[править | править вики-текст]

Закон Ома, в отличие от, например, закона Кулона, является не фундаментальным физическим законом, а лишь эмпирическим соотношением, хорошо описывающим наиболее часто встречаемые на практике типы проводников в приближении небольших частот, плотностей тока и напряжённостей электрического поля, но перестающим соблюдаться в ряде ситуаций.

В классическом приближении закон Ома можно вывести при помощи теории Друде:

\vec j=\frac{n \cdot e_0^{2}\cdot\tau}{m} \cdot\vec E=\sigma\cdot\vec E

Здесь:

Проводники и элементы, для которых соблюдается закон Ома, называются омическими.

Закон Ома может не соблюдаться:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. G. S. Ohm (1827). Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet. Berlin: T. H. Riemann.
  2. Статья «Мо» // Большой энциклопедический словарь.

Ссылки[править | править вики-текст]