Закон движения

Закон движения — математическая формулировка того, как движется тело или как происходит движение более общего вида или набор зависимостей, которые выявляют все данные о движении точки.

В классической механике материальной точки закон движения представляет собой три зависимости трёх пространственных координат от времени, либо зависимость одной векторной величины (радиус-вектора) от времени, вида

${\vec {r}}={\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t){\vec {e}}_{z}$.

Закон движения может быть найден, в зависимости от задачи, либо из дифференциальных законов механики (см. Законы Ньютона), либо из интегральных (см. Закон сохранения энергии, Закон сохранения импульса), либо из так называемых вариационных принципов.

Частные случаи

Равномерное прямолинейное движение

Простейшим случаем движения материальной точки является равномерное и прямолинейное движение, то есть движение с постоянной по модулю и направлению скоростью. В этом случае её закон движения выглядит следующим образом:

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t$,

где ${\vec {r}}_{0}$ — радиус-вектор, характеризующий положение точки в момент времени $t=0$, ${\vec {v}}$ — вектор скорости материальной точки.

Если ось x выбрать направленной вдоль направления вектора скорости, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени $t=0$, то закон принимает особо простую форму:

$x(t)=vt$,

где $v$ — модуль вектора скорости материальной точки.

Равноускоренное прямолинейное движение

Другим важным частным случаем является прямолинейное движение с постоянным ускорением. В этом случае закон движения имеет вид:

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}$,

где ${\vec {v}}_{0}$ — вектор скорости материальной точки в момент времени $t=0$, ${\vec {a}}$ — вектор ускорения материальной точки.

Если ось x выбрать направленной вдоль направления вектора ускорения, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени $t=0$, то закон принимает более простую форму:

$x(t)=v_{0x}t+{\frac {at^{2}}{2}}$,

где $v_{0x}$ — проекция вектора скорости материальной точки на ось x в момент времени $t=0$, $a$ — модуль вектора ускорения материальной точки.

Равномерное движение по окружности

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью (или, что то же самое с постоянной угловой скоростью) вектор ускорения направлен строго перпендикулярно вектору скорости в сторону центра окружности. В этом случае закон движения может быть записан в следующем виде:

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {a_{n}{\vec {n}}(t)t^{2}}{2}}$,

где $a_{n}$ — так называемое нормальное ускорение, ${\vec {n}}$ — единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру окружности, то есть $({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})=0$. Величина $a_{n}$ постоянна и равна $a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R$. Вектор ${\vec {n}}$ равномерно вращается с угловой скоростью $\omega ={\frac {v}{R}}$, где R — радиус окружности, по которой движется материальная точка.

Удобнее при рассмотрении движения по окружности перейти к угловым переменным: углу $\varphi$, угловой скорости $\omega$ и угловому ускорению $\varepsilon$. В этих переменных закон равномерного движения по окружности принимает следующий вид:

$\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t$

Равноускоренное движение по окружности

При равноускоренном движении по окружности вектор ускорения меняет как своё направление, так и величину модуля. Постоянным остаётся только так называемая тангенциальная составляющая ускорения, равная проекции вектора ускорения на прямую, вдоль которой направлен вектор скорости (эта же прямая является касательной к окружности, по которой движется материальная точка). Закон движения может быть при этом записан в следующем виде:

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {\left(a_{n}(t){\vec {n}}(t)+a_{\tau }{\vec {s}}(t)\right)t^{2}}{2}}$,

где $a_{\tau }$ — тангенциальное ускорение, ${\vec {s}}$ — единичный вектор касательной к окружности. Величина $a_{\tau }$ остаётся постоянной, величина $a_{n}={\frac {v^{2}(t)}{R}}$ изменяется с изменением модуля скорости, вектора ${\vec {n}}$ и ${\vec {s}}$ вращаются с переменной угловой скоростью $\omega (t)={\frac {v(t)}{R}}$.

В угловых переменных закон равноускоренного движения по окружности имеет более простой вид:

$\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega _{0}t+{\frac {\varepsilon t^{2}}{2}}$,

где $\varepsilon ={\frac {a_{\tau }}{R}}$.

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.