Закон дисперсии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде

Зако́н диспе́рсии, или дисперсионное соотношение, в теории волн — это функция зависимости частоты от волнового вектора:

Этот закон выражает связь временной и пространственной периодичности волны. Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны. Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

В связи с тем, что согласно квантовым представлениям каждой волне соответствует некоторая частица или квазичастица (и наоборот), закон дисперсии можно также записывать и для частиц. В частности, в физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией частицы (например, электрона, фонона) и его волновым вектором.

Вывод для цепочки[править | править код]

Пусть дана одномерная линейная цепочка атомов массой , расстояние между ними . Сместим -й атом на малое расстояние . Тогда из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

Обозначения:

— волновое число;
— частота.

С учётом ближайших соседей

где

— коэффициент квазиупругой силы.

Запишем уравнение движения для -го атома:

Пусть решение имеет вид

Тогда

где

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии для одноатомной цепочки.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.