Закон повторного логарифма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Экспериментальная иллюстрация закона повторного логарифма и закона больших чисел. Зелёным обозначены пределы блуждания согласно закону повторного логарифма. Вид графика обусловлен нелинейностью обеих осей.

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к 0, но остается в конечных пределах почти наверное.

Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году[1][2]. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году[3][4].

Теорема[править | править вики-текст]

Пусть  — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть . Тогда почти наверное:

,
,

где  — натуральный логарифм,  — верхний предел, нижний предел.

Обобщения и дополнения[править | править вики-текст]

Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером [5]. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен [6]. Им же доказано [7], что если - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

.

Взаимосвязь с другими предельными теоремами[править | править вики-текст]

Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы с делителем стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:

почти наверное при

Центральная предельная теорема утверждает, что суммы с делителем сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.

Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:

и ни к чему не стремится почти наверное при .

Таким образом, хотя величина будет меньше чем любое заданное с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка почти наверное.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Xинчин А. Я., «Fundam. math.», 1924, v. 6, p. 9-20;
  2. Хинчин А. Я. «Основные законы теории вероятностей.»,1932. [1]
  3. Колмогоров А. Н., «Math. Ann.», 1929, Bd 101, S. 126-35;
  4. Повторного логарифма закон — статья из Математической энциклопедии
  5. W. Feller, "The general form of the so-called law of the iterated logarithm" Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (1943) pp. 373–402
  6. V. Strassen, "An invariance principle for the law of the iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226
  7. V. Strassen, "A converse to the law of iterated logarithm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268