Замыкание (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества обычно обозначается Другие обозначения:

Определения[править | править вики-текст]

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество[править | править вики-текст]

Пусть есть подмножество топологического пространства Замыканием в называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения[править | править вики-текст]

Точка топологического пространства называется точкой прикосновения множества если любая окрестность содержит хотя бы одну точку множества

Множество всех точек прикосновения называется замыканием

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Замыкание множества замкнуто.
  2. Замыкание множества содержит само множество, то есть
  3. Замыкание множества содержит все его предельные точки.
  4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть
  5. Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4):
  6. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
  7. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
  8. Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

Примеры[править | править вики-текст]

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая с заданной на ней стандартной топологией.

  • где  — множество рациональных чисел.