Замыкание (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества S обычно обозначается \bar S. Другие обозначения: \operatorname{cl}(S) ,\,\operatorname{Cl}(S) ,\, S^{-1}.

Определения[править | править вики-текст]

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество[править | править вики-текст]

Пусть S есть подмножество топологического пространства X. Замыканием S в X называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих S.

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения[править | править вики-текст]

Точка x топологического пространства X называется точкой прикосновения множества S, если любая окрестность x содержит хотя бы одну точку множества S.

Множество всех точек прикосновения S называется замыканием S.

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Замыкание множества замкнуто.
  2. Замыкание множества содержит само множество, то есть
    S\subset\bar{S}.
  3. Замыкание множества содержит все его предельные точки.
  4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть
    S=\bar{S}.
  5. Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4):
    \bar{\bar{S}}=\bar{S}.
  6. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
    (S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).
  7. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
    \overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}.
  8. Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть
    \overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.

Примеры[править | править вики-текст]

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая \mathbb{R} с заданной на ней стандартной топологией.