Звезда (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Правильная четырёхконечная звезда
Gwiazda LnM.svg

Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения.

Первое определение[править | править исходный текст]

Правильная 8-вершинная звезда, вписанная в правильный 8-угольник

Правильной геометрической звездой можно было бы считать фигуру, вписанную в равносторонний многоугольник, построенный в окружности произвольного радиуса так, чтобы вершины многоугольника совпадали с вершинами звезды. Правильные звёзды могут быть построены с числом сторон не менее пяти. Все звёзды, построенные в многоугольниках с числом сторон 5 и более характеризуются определёнными соотношениями угла между соседними вершинами к углу самих вершин, выраженными двумя целыми числами, в зависимости от чётности числа сторон исходного многоугольника. Если число сторон исходного многоугольника чётное, то соотношение указанных углов равно 2 (двум), т.е. угол между соседними вершинами в два раза больше угла самих вершин звёзд с числом вершин 6 и более. Если число сторон исходного многоугольника нечётное, то соотношение угла между соседними вершинами к углу самих вершин звёзд равно 3 (трём). Так например, угол между соседними вершинами пятиконечной звезды (нечётное число сторон исходного многоугольника)равен 108°, а угол самой вершины равен 36°. Отношение 108 к 36 равно трём. Угол между соседними вершинами десятиконечной звезды (чётное число исходного многоугольника)равен 72°, а угол самой вершины равен 36°, т.е отношение 72 к 36 равно 2 (двум). Интересно отметить, что восьмиконечная (восьмивершинная) звезда, построенная путём поворота одного из двух наложенных квадратов на 45 градусов вокруг общего центра, имеет соотношение углов 1,5 (полтора),т.е. угол между вершинами составляет 135°, а угол вершины-90°. По-видимому, эту 8-вершинную звезду нельзя отнести к категории правильных геометрических звёзд. Восьмиконечная звезда с обычным соотношением этих углов (2) имеет угол между вершинами 90°, а угол самой вершины составляет 45°. Из каждой правильной геометрической звезды можно выделить четырёхстороннюю фигуру с тремя вершинами в виде пики, имеющей две пары сторон разной длины и три вершины с одинаковым значением угла. Например, упомянутая пятивершинная звезда м.б. образована двумя пиками, угол вершин которых равен 36°, при этом одна из трёх вершин каждой пики оказывается совмещённой с одной из вершин другой пики. Поэтому за счёт наложения вершин каждой пики получается звезда с пятью вершинами. Использование равностороннего треугольника и квадрата для построения правильных 3-конечной и 4-конечной звёзд описанным способом не представляется возможным. Для построения этих звёзд можно использовать соответственно равносторонние шестиугольник и восьмиугольник. При этом можно построить произвольное число трёхконечных и четырёхконечных звёзд, но ни одна из них не будет соответствовать данным соотношениям углов. Таким образом, правильными геометрическими звёздами можно было бы признать остроконечные многоугольники с углами меньше 90°, у которых отношение углов вершин к углам между соседними вершинами равно двум или трём.

Второе определение - звёздчатый многоугольник[править | править исходный текст]

Пятиконечная звезда {5/2}, вписанная в правильный пятиугольник {5/1}

Каждая вершина правильного n-многоугольника соединятся с m-ной от неё на окружности по часовой стрелке. Звезда, полученная таким образом, обозначается как {n/m}. При этом точки пересечения сторон между собой не рассматриваются как вершины. Такая звезда имеет n вершин и n сторон, также как и правильный n-угольник. Её также называют звёздчатым многоугольником, и она является звёздчатой формой соответствующего ей n-угольника.

Соотношение радиусов 2 окружностей правильной звезды с вышеприведённым вариантом построения: внешней (на которой лежат вершины углов лучей звезды) и внутренней (на которой лежат точки пересечения сторон соседних лучей) вычисляется по формуле:

\frac{\cos\left(\frac{\pi}{n}\times m\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\times (m-1)\right)}

Звёзды могут быть связными (нераспадающимися едиными многоугольниками), не являясь соединениями других правильных или звёздчатых многоугольников, а могут быть несвязными, распадаясь на несколько одинаковых правильных многоугольников или связных звёзд.

Многоугольника Рёло, построенного на неправильном равностороннем звёздчатом семиугольнике
Двумерное дискретное множество звёзд.
Пурпурные — выпуклые многоугольники.
Зелёные — связные звёзды {n/m} (где n и m взаимно простые числа), см. также Фигуры Лиссажу.
Чёрные — не связные звёзды {n/m} (где n и m не взаимно простые числа).
Синие прямые соединяют многоугольник (выпуклый или связную звезду) со всеми не связными звёздами, являющимися соединениями (после поворота) разного количества одинаковых многоугольников, таких же как этот
Icône étoile d'or à cinq branches.svg
Featured article star.svg
Brazil featured star.svg
FA-Bangladesh.png
Featured Star (on pearl) Japan.svg


Многообразие звёзд[править | править исходный текст]

В природе[править | править исходный текст]

Шахматы[править | править исходный текст]

  • На шахматной доске в поле 3х3 траектория коня образует восьмиконечную звезду.
Knight's graph showing number of possible moves.svg

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Звёздчатые многоугольники — звёздчатые иллюзии