Эта статья входит в число добротных статей

Идеальный газ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Термодинамика
Thermodynamics navigation image.svg
Статья является частью одноименной серии.
Начала термодинамики
Уравнение состояния
Термодинамические величины
Термодинамические потенциалы
Термодинамические циклы
Фазовые переходы
править
См. также «Физический портал»

Идеальный газ — математическая модель газа, в которой в рамках молекулярно-кинетической теории предполагается, что: 1) потенциальной энергией взаимодействия частиц, составляющих газ, можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией; 2) суммарный объём частиц газа пренебрежимо мал; 3) между частицами нет дальнодействующих сил притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги; 4) время взаимодействия между частицами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. В расширенной модели идеального газа частицы, из которого он состоит, имеют форму упругих сфер или эллипсоидов, что позволяет учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц[1]. В рамках термодинамики идеальными называются гипотетические (реально не существующие) газы, подчиняющиеся термическому уравнению состояния Клапейрона — Менделеева[2][3][4].

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точных уравнений состояния реальных газов, например уравнения Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).

История[править | править вики-текст]

Клапейрон первым сформулировал уравнение идеального газа

История возникновения понятия идеальный газ восходит к успехам экспериментальной физики, начало которым было положено в XVII веке. В 1643 г. Эванджелиста Торричелли впервые доказал, что воздух имеет вес (массу), и, совместно с В. Вивиани, провёл опыт по измерению атмосферного давления с помощью запаянной с одного конца стеклянной трубки, заполненной ртутью. Так появился на свет первый ртутный барометр. В 1650 г. немецкий физик Отто фон Герике изобрёл вакуумную откачку и провёл в 1654 г. знаменитый эксперимент с магдебургскими полушариями , наглядно подтвердивший существование атмосферного давления. Другой эксперимент осуществил английский физик Роберт Бойль, на основании которого в 1662 г. был сформулирован газовый закон, названный впоследствии законом Бойля — Мариотта[5], в связи с тем, что французский физик Эдм Мариотт в 1679 г. провёл аналогичное независимое исследование.

В 1802 году французский физик Гей-Люссак опубликовал в открытой печати закон объёмов (называемый в русскоязычной литературе законом Гей-Люссака) [6], однако сам Гей-Люссак считал, что открытие было сделано Жаком Шарлем в неопубликованной работе, относящейся к 1787 году. Независимо от них этот закон был открыт в 1801 году английским физиком Джоном Дальтоном. Кроме того, качественно он был описан французским учёным Гийомом Амонтоном в конце XVII века. Гей-Люссак также установил, что коэффициент объёмного расширения одинаков для всех газов, несмотря на общепринятое мнение, что разные газы расширяются при нагревании различным образом.

В 1834 году Бенуа Клапейрон объединил оба этих закона в одно уравнение газового состояния — уравнение Клапейрона, разновидность которого часто называют в русскояычных источниках уравнением Клапейрона — Менделеева. [7]. Эспериментальные исследования физических свойств реальных газов в те годы были не вполне точны и проводились в условиях не сильно отличавшихся от нормальных (температура 0 ℃, давление 760 мм. рт. столба). Предполагалось также, что газ, в отличие от пара, представляет собой субстанцию, неизменную в любых физических условиях. Первый удар по этим представлениям нанесло сжижение хлора в 1823 г. В дальнейшем выяснилось, что реальные газы представляют собой перегретые пары, достаточно удалённые от областей конденсации и критического состояния. Любой реальный газ может быть превращён в жидкость путём конденсации, либо путём непрерывных изменений однофазового состояния. Таким образом выяснилось, что реальные газы представляют одно из агрегатных состояний соответствующих простых тел, а точным уравнением состояния газа может быть уравнение состояния простого тела. Несмотря на это, газовые законы сохранились в термодинамике и в её технических приложениях как законы идеальных газов — предельных ( практически недостижимых) состояний реальных газов. [8] Уравнение Клапейрона, было выведено при некоторых допущениях на основе молекулярно - кинетической теории газов. (Августом Крёнигом в 1856 г. [9] и Рудольфом Клаузиусом в 1857 г.)[10]. Клаузиусом было введено и само понятие «идеальный газ» [11].

Классический идеальный газ[править | править вики-текст]

Объём идеального газа линейно зависит от температуры при постоянном давлении

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

  • Размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними, так что суммарный объём, занимаемый молекулами, много меньше объёма сосуда[12][13];
  • импульс передается только при соударениях, то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях;
  • суммарная энергия частиц газа постоянна, если отсутствует теплопередача и газ не совершает работы.

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно полному импульсу, передаваемому при столкновении частиц с участком стенки единичной площади в единицу времени, внутренняя энергия — сумме энергий частиц газа.

По эквивалентной формулировке идеальный газ — такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля — Мариотта и Гей-Люссака[13], то есть:

\,pV = bT,

где \,p — давление, \,T — абсолютная температура. Свойства идеального газа описываются уравнением Клапейрона — Менделеева[14]:

\,pV = \frac{m}{M}RT или \,pV = \nu RT,

где R — универсальная газовая постоянная, \,m — масса газа, \,M — его молярная масса, \nu = \frac{m}{M}количество вещества газа,

или

\,p = nkT,

где \,n — концентрация частиц, \,k — постоянная Больцмана.

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера[14]:

\,C_P-C_V=R,

где \,R — универсальная газовая постоянная, \,C_P — молярная теплоемкость при постоянном давлении, \,C_V — молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Применение теории идеального газа[править | править вики-текст]

Физический смысл температуры газа[править | править вики-текст]

Давление, как процесс передачи импульса молекул газа стенкам сосуда

По определению, давление молекул газа на стенку сосуда равно \,p =\frac{F}{S}, где F — сила, действующая на стенку сосуда со стороны молекул, а S — площадь стенки сосуда. При условии, что давление постоянно в течение времени T, получаем \,p =\frac{K}{ST}  (1) , где K — импульс, передаваемый молекулами стенкам сосуда. Если принять, что модуль импульса не меняется при соударении, получим, что каждая молекула передаёт импульс \,K_m, равный 2mv\cos\vartheta (2), где \vartheta — угол между импульсом молекулы до соударения и нормалью со стенкой[15].

Проинтегрировав выражение (2) по всем возможным углам и скоростям, получаем K= \frac{2}{3}n\varepsilon_{lin}ST (3) . Подставив (3) в (1), получаем, что давление молекул газа на стенку сосуда определяется по формуле \,p = \frac{2}{3}n\varepsilon_{lin}[16], где \ \varepsilon_{lin} — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Подставив p в уравнение Менделеева — Клапейрона в форме \,p = nkT, получаем выражение \ \varepsilon_{lin}= \frac{3}{2}kT, откуда следует, что температура газа прямо пропорциональна средней энергии поступательного движения молекул[15].

Распределение Больцмана[править | править вики-текст]

Распределение скоростей для 106 молекул кислорода при −100, 20, 600 градусах Цельсия

Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям следует из уравнения Менделеева — Клапейрона, из которого можно вывести распределение газа в поле потенциальной энергии. Это распределение приводит к распределению Больцмана[17]:

\bar n_j  = ae^{ - {{\varepsilon _j } \over {kT}}},

где \bar n_j — среднее число частиц, находящихся в \,j-ом состоянии с энергией \varepsilon _j, а константа \,a определяется условием нормировки:

\sum{n_j}=N,

где \,N — полное число частиц.

Распределение Больцмана является предельным случаем распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Данный предельный случай возникает, когда заполнение энергетических уровней мало, то есть квантовыми эффектами можно пренебречь[18].

Адиабатический процесс[править | править вики-текст]

График адиабаты (жирная линия) на p-V диаграмме для газа.
p — давление газа;
V — объём.

C помощью модели идеального газа можно предсказать изменение параметров состояния газа при адиабатическом процессе. Перепишем уравнение Клапейрона — Менделеева в виде:

\, pV=\nu RT.

Продифференцировав обе части, получаем:

\, pdV+Vdp=\nu RdT.

Затем, если подставить в это уравнение значение работы и внутренней энергии газа, получим уравнение Пуассона[14].

Квантовый идеальный газ[править | править вики-текст]

Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ). В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми — Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) — статистика Бозе — Эйнштейна (Бозе-газ)[19].

Ферми-газ[править | править вики-текст]

Для фермионов действует принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянии[20]. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёма[18]. Существует верхний предел энергии, который могут иметь частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми \,E_F). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газом[21].

Примерами Ферми-газов являются электронный газ в металлах, сильнолегированных и вырожденных полупроводниках, вырожденный газ электронов в белых карликах[21].

Бозе-газ[править | править вики-текст]

Распределение скоростей атомов рубидия вблизи абсолютного нуля. Слева — распределение до образования конденсата, в центре — после образования, справа — после испарения газообразной составляющей и появления чистого конденсата

Так как бозоны могут быть строго тождественны друг другу[22][23] и, соответственно, принцип Паули на них не распространяется, то при снижении температуры Бозе-газа ниже некоторой температуры T_0 возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образование конденсата Бозе — Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при \,T < T_0 давление Бозе-газа зависит только от температуры. Этот эффект в 1995 году наблюдался экспериментально, а в 2001 году авторам эксперимента была присуждена Нобелевская премия[24].

Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе — Эйнштейна куперовских электронных пар при сверхпроводимости. Примером ультрарелятивистского бозе-газа является фотонный газ, например, тепловое излучение[22][23].

Идеальный газ в гравитационном поле[править | править вики-текст]

Изменение давления в земной атмосфере с высотой

В ОТО-релятивистской термодинамике при термическом равновесии газовой (жидкой) сферы собственная температура, измеряемая местным наблюдателем, понижается при перемещении по радиусу от центра сферы к её поверхности. Этот релятивистский эффект невелик (исключая случай сверхсильных гравитационных полей) и у поверхности Земли им пренебрегают[25].

Реальное воздействие гравитационного поля на газ (жидкость) проявляется в первую очередь через зависимость гидростатического давления от высоты столба газа (жидкости). Влияние поля тяготения на термодинамические свойства системы можно не учитывать в том случае, когда изменение давления по высоте много меньше абсолютной величины давления. Не выходя за рамки термодинамики, Дж. Максвелл установил[26][27][28], что «…в вертикальной колонне газа, предоставленного самому себе, температура повсюду одинакова после того, как колонна достигла теплового равновесия посредством теплопроводности; другими словами, тяжесть не оказывает никакого влияния на распределение температур в колонне», и что этот вывод справедлив для любых газов (жидкостей), то есть равенство температур по всему объёму системы есть необходимое условие равновесия в гравитационном поле[29][30][31][32]. Методами молекулярно-кинетической теории этот же результат для газов был получен Л. Больцманом[33].

Зависимость давления от высоты изотермического столба идеального газа даёт барометрическая формула. В простейшей термодинамической модели, объясняющей наблюдаемую неизотермичность земной атмосферы, рассматривают не равновесное, а стационарное состояние столба идеального газа, достигаемое равновесным адиабатическим процессом циркуляции воздуха, когда теплопередача в сторону убыли температуры (вверх), уравновешивается переносом потенциальной энергии молекул воздуха в обратном направлении[34][35].

Совершенный газ (гидроаэромеханика)[править | править вики-текст]

В отличие от термодинамики в гидроаэромеханике газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона — Менделеева, называют совершенным. У совершенного газа молярные изохорная C_V и изобарная C_P теплоёмкости постоянны. В то же время идеальным в гидроаэромеханике называют газ, у которого отсутствуют вязкость и теплопроводность. Модель совершенного газа широко применяют при исследовании течения газов[36].

Пределы применимости теории идеального газа[править | править вики-текст]

Если плотность газа повышается, то столкновения молекул начинают играть всё бо́льшую роль и пренебрегать размерами и взаимодействием молекул становится невозможным. Поведение такого газа плохо описывается моделью идеального газа, в связи с чем его называют реальным газом[1]. Для описания реальных газов применяются различные модифицированные уравнения состояния, например, вириальное разложение.

Другое широко используемое уравнение получается, если учесть, что молекула не бесконечно мала, а имеет определённый диаметр d, то уравнение Менделеева — Клапейрона для одного моля газа примет вид[37]:

\,p(V-b) = RT,

при этом величина b равна[37]:

\,b=\frac{2\pi}{3}Nd^3,

где N — число молекул в газе. Учёт дополнительно сил межмолекулярного притяжения (сил Ван-дер-Ваальса) приведёт к изменению уравнения до уравнения Ван-дер-Ваальса[37]:

\left(p+\frac{a\nu^2}{V^2}\right)\left({V}-{b\nu}\right)=\nu RT.

Существует ряд эмпирических уравнений состояния, например Бертло и Клаузиуса, которые ещё лучше описывают поведение реального газа в определённых условиях[38].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Любитов Ю. Н. Идеальный газ // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 98. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  2. Герасимов Я. И. и др., Курс физической химии, т. 1, 1970, с. 50
  3. Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 25
  4. Белоконь Н. И., Основные принципы термодинамики, 1968, с. 29
  5. Кудрявцев, 1956, с. 185—186
  6. Gay-Lussac, J. L. Recherches sur la dilatation des gaz et des vapeurs // Annales de chimie. — 1802. — Vol. XLIII. — P. 137.
  7. Clapeyron, E. (1834). «Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur». Journal de l'École Polytechnique XIV: 153–90.  (фр.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 153—90).
  8. Белоконь Н. И. Термодинамика, Госэнергоиздат I1954, с. 47
  9. Krönig, A. (1856). «Grundzüge einer Theorie der Gase». Annalen der Physik 99 (10): 315–22. DOI:10.1002/andp.18561751008. Bibcode1856AnP...175..315K.  (нем.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 315—22).
  10. Clausius, R. (1857). «Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen». Annalen der Physik und Chemie 176 (3): 353–79. DOI:10.1002/andp.18571760302. Bibcode1857AnP...176..353C.  (нем.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 353—79).
  11. Клаузиус // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  12. Коган М. Н. Динамика разреженного газа // Кинетическая теория. — М., 1967
  13. 1 2 Савельев, 2001, с. 24
  14. 1 2 3 Савельев, 2001, с. 29—32
  15. 1 2 Савельев, 2001, с. 53—56
  16. Савельев, 2001, с. 53-56
  17. Савельев, 2001, с. 77—80
  18. 1 2 Савельев, квантовая оптика, 2001, с. 205—208
  19. F. Reif, 1965, pp. 246—248
  20. Kenneth S. Krane, 1987, с. 123—125
  21. 1 2 Савельев, квантовая оптика, 2001, с. 218—224
  22. 1 2 Einstein A. (1924). «Quantentheorie des einatomigen idealen Gases». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalisch-mathematische Klasse 1924: 261—267.  (нем.)
  23. 1 2 Einstein A. (1925). «Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Zweite Abhandlung». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalisch-mathematische Klasse 1925: 3—14.  (нем.)
  24. Anderson, M. H.; Ensher, J. R.; Matthews, M. R.; Wieman, C. E.; Cornell, E. A. (1995). «Observation of Bose–Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor». Science 269: 198—201. DOI:10.1126/science.269.5221.198. PMID 17789847.  (англ.)
  25. Толмен Р., Относительность, термодинамика и космология, 1974, с. 320.
  26. Maxwell James Clerk, On the Dynamical Theory of Gases, 1866.
  27. Maxwell J. Clerk, Theory of Heat, 1871, p. 300.
  28. Максуэлл Клерк, Теория теплоты, 1888, с. 282.
  29. Кириллин В. А. и др., Техническая термодинамика, 2008, с. 139
  30. Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика, 1982, с. 147
  31. Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 276
  32. A Commentary on the Scientific Writings of J. Willard Gibbs, vol. 1, 1936, p. 327
  33. Эренфест, 1972
  34. Яковлев В. Ф., Курс физики. Теплота и молекулярная физика, 1976, с. 313—316
  35. Сычев В. В., Сложные термодинамические системы, 2009, с. 186—190
  36. Вишневецкий Л. С. Совершенный газ // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 569. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.
  37. 1 2 3 Сивухин, 1975, с. 375-378
  38. Сивухин, 1975, с. 382-384

Литература[править | править вики-текст]

  1. A Commentary on the Scientific Writings of J. Willard Gibbs. Vol. I. Thermodynamics / Edited by Donnan F.G., Haas Arthur. — New Haven — London — Oxford: Yale University Press; Humphrey Milford; Oxford University Press, 1936. — XXIII +742 p.
  2. Maxwell J. C. On the Dynamical Theory of Gases. — The Scientific Papers of James Clerk Maxwell. Vol. 2. — N. Y.: Dover Publications, Inc., 2003. — XXXI + 607 с. — (Dover Phoenix Editions). — ISBN 978-0486-49560-6.
  3. Maxwell J. Clerk. Theory of Heat. — London: Longmans, Green, and Co., 1871. — XII + 312 p..
  4. Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
  5. Maslov V. P. Mathematical conception of the gas theory.
  6. Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М.: Химия, 1970. — Т. I. — 592 с.
  7. Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика / Отв. ред. Д. Н. Зубарев. — М.: Наука, 1982. — 584 с. — (Классики науки).
  8. Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд. дом МЭИ, 2008. — 496 с. — ISBN 978-5-383-00263-6.
  9. Кубо Р. Термодинамика. — М.: Мир, 1970. — 304 с.
  10. Кудрявцев П. С. История физики. — М.: Гос. учебно-педагог. изд-во, 1956. — Т. 1. От античной физики до Менделеева. — 564 с. — 25 000 экз.
  11. Максуэлл Клерк. Теория теплоты в элементарной обработке. Перевод с 7-го английского издания А. Л. Королькова. — Киев: Типография И. Н. Кушнерева и К°, 1888. — VI + 292 с.
  12. Мюнстер А. Химическая термодинамика / Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
  13. Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.
  14. Савельев И. В. Курс общей физики:Квантовая оптика.Атомная физика. Физика твёрдого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц.. — М.: Астрель, 2001. — Т. 5. — 368 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004587-5.
  15. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1975. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.
  16. Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
  17. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология / Пер. с англ. под ред. Я. А. Смородинского. — М.: Наука, 1974. — 520 с.
  18. Эренфест П. Об одном старом заблуждении относительно теплового равновесия газа в поле тяготения. — П. Эренфест. Относительность. Кванты. Статистика. — М.: Наука, 1972. — 360 с.
  19. Яковлев В. Ф. Курс физики. Теплота и молекулярная физика. — М.: Просвещение, 1976. — 320 с.
  20. Kenneth S. Krane. Introductory Nuclear Physics. — Wiley, 1987. — ISBN 978-0-471-80553-3.
  21. F. Reif. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — McGraw–Hill, 1965. — ISBN 978-0-07-051800-1.