Эта статья входит в число добротных статей

Идеальный газ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Термодинамика
Thermodynamics navigation image.svg
Статья является частью одноименной серии.
Начала термодинамики
Уравнение состояния
Термодинамические величины
Термодинамические потенциалы
Термодинамические циклы
Фазовые переходы
править
См. также «Физический портал»

Идеальный газ — математическая модель газа, в которой в рамках молекулярно-кинетической теории предполагается, что:

  1. потенциальной энергией взаимодействия частиц, составляющих газ, можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией;
  2. суммарный объём частиц газа пренебрежимо мал;
  3. между частицами нет дальнодействующих сил притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги;
  4. время взаимодействия между частицами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

В расширенной модели идеального газа частицы, из которого он состоит, имеют форму упругих сфер или эллипсоидов, что позволяет учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц[1]. В рамках термодинамики идеальными называются гипотетические (реально не существующие) газы, подчиняющиеся термическому уравнению состояния Клапейрона — Менделеева[2][3][4].

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точных уравнений состояния реальных газов, например уравнения Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).

История[править | править вики-текст]

Клапейрон первым сформулировал уравнение идеального газа

История возникновения понятия идеальный газ восходит к успехам экспериментальной физики, начало которым было положено в XVII веке. В 1643 г. Эванджелиста Торричелли впервые доказал, что воздух имеет вес (массу), и, совместно с В. Вивиани, провёл опыт по измерению атмосферного давления с помощью запаянной с одного конца стеклянной трубки, заполненной ртутью. Так появился на свет первый ртутный барометр. В 1650 г. немецкий физик Отто фон Герике изобрёл вакуумную откачку и провёл в 1654 г. знаменитый эксперимент с магдебургскими полушариями, наглядно подтвердивший существование атмосферного давления. Другой эксперимент осуществил английский физик Роберт Бойль, на основании которого в 1662 г. был сформулирован газовый закон, названный впоследствии законом Бойля — Мариотта[5], в связи с тем, что французский физик Эдм Мариотт в 1679 г. провёл аналогичное независимое исследование.

В 1802 году французский физик Гей-Люссак опубликовал в открытой печати закон объёмов (называемый в русскоязычной литературе законом Гей-Люссака) [6], однако сам Гей-Люссак считал, что открытие было сделано Жаком Шарлем в неопубликованной работе, относящейся к 1787 году. Независимо от них этот закон был открыт в 1801 году английским физиком Джоном Дальтоном. Кроме того, качественно он был описан французским учёным Гийомом Амонтоном в конце XVII века. Гей-Люссак также установил, что коэффициент объёмного расширения одинаков для всех газов, несмотря на общепринятое мнение, что разные газы расширяются при нагревании различным образом.

В 1834 году Бенуа Клапейрон объединил оба этих закона в одно уравнение газового состояния — уравнение Клапейрона, разновидность которого часто называют в русскоязычных источниках уравнением Клапейрона — Менделеева. [7]. Эспериментальные исследования физических свойств реальных газов в те годы были не вполне точны и проводились в условиях не сильно отличавшихся от нормальных (температура 0 ℃, давление 760 мм. рт. столба). Предполагалось также, что газ, в отличие от пара, представляет собой субстанцию, неизменную в любых физических условиях. Первый удар по этим представлениям нанесло сжижение хлора в 1823 г. В дальнейшем выяснилось, что реальные газы представляют собой перегретые пары, достаточно удалённые от областей конденсации и критического состояния. Любой реальный газ может быть превращён в жидкость путём конденсации, либо путём непрерывных изменений однофазового состояния. Таким образом выяснилось, что реальные газы представляют одно из агрегатных состояний соответствующих простых тел, а точным уравнением состояния газа может быть уравнение состояния простого тела. Несмотря на это, газовые законы сохранились в термодинамике и в её технических приложениях как законы идеальных газов — предельных (практически недостижимых) состояний реальных газов. [8] Уравнение Клапейрона, было выведено при некоторых допущениях на основе молекулярно - кинетической теории газов. (Августом Крёнигом в 1856 г. [9] и Рудольфом Клаузиусом в 1857 г.)[10]. Клаузиусом было введено и само понятие «идеальный газ» [11].

Классический идеальный газ[править | править вики-текст]

Объём идеального газа линейно зависит от температуры при постоянном давлении

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

  • Размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними, так что суммарный объём, занимаемый молекулами, много меньше объёма сосуда[12][13];
  • импульс передается только при соударениях, то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях;
  • суммарная энергия частиц газа постоянна, если отсутствует теплопередача и газ не совершает работы.

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно полному импульсу, передаваемому при столкновении частиц с участком стенки единичной площади в единицу времени, внутренняя энергия — сумме энергий частиц газа.

По эквивалентной формулировке идеальный газ — такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля — Мариотта и Гей-Люссака[13], то есть:

,

где  — давление,  — абсолютная температура. Свойства идеального газа описываются уравнением Клапейрона — Менделеева[14]:

или ,

где  — универсальная газовая постоянная,  — масса газа,  — его молярная масса, количество вещества газа,

или

,

где  — концентрация частиц,  — постоянная Больцмана.

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера[14]:

,

где  — универсальная газовая постоянная,  — молярная теплоемкость при постоянном давлении,  — молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Применение теории идеального газа[править | править вики-текст]

Физический смысл температуры газа[править | править вики-текст]

Давление, как процесс передачи импульса молекул газа стенкам сосуда

По определению, давление молекул газа на стенку сосуда равно , где — сила, действующая на стенку сосуда со стороны молекул, а — площадь стенки сосуда. При условии, что давление постоянно в течение времени T, получаем , где — импульс, передаваемый молекулами стенкам сосуда. Если принять, что модуль импульса не меняется при соударении, получим, что каждая молекула передаёт импульс , равный , где — угол между импульсом молекулы до соударения и нормалью со стенкой[15].

Проинтегрировав выражение (2) по всем возможным углам и скоростям, получаем . Подставив (3) в (1), получаем, что давление молекул газа на стенку сосуда определяется по формуле [16], где — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Подставив в уравнение Менделеева — Клапейрона в форме , получаем выражение , откуда следует, что температура газа прямо пропорциональна средней энергии поступательного движения молекул[15].

Распределение Больцмана[править | править вики-текст]

Распределение скоростей для 106 молекул кислорода при −100, 20, 600 градусах Цельсия

Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям следует из уравнения Менделеева — Клапейрона, из которого можно вывести распределение газа в поле потенциальной энергии. Это распределение приводит к распределению Больцмана[17]:

,

где  — среднее число частиц, находящихся в -ом состоянии с энергией , а константа определяется условием нормировки:

,

где  — полное число частиц.

Распределение Больцмана является предельным случаем распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Данный предельный случай возникает, когда заполнение энергетических уровней мало, то есть квантовыми эффектами можно пренебречь[18].

Адиабатический процесс[править | править вики-текст]

График адиабаты (жирная линия) на диаграмме для газа.
 — давление газа;
 — объём.

C помощью модели идеального газа можно предсказать изменение параметров состояния газа при адиабатическом процессе. Перепишем уравнение Клапейрона — Менделеева в виде:

.

Продифференцировав обе части, получаем:

.

Затем, если подставить в это уравнение значение работы и внутренней энергии газа, получим уравнение Пуассона[14].

Квантовый идеальный газ[править | править вики-текст]

Понижение температуры и увеличение плотности газа может привести к ситуации, когда среднее расстояние между частицами становится соизмеримым с длиной волны де Бройля для этих частиц, что приводит к переходу от классического к квантовому идеальному газу (см. Вырожденный газ). В таком случае поведение газа зависит от спина частиц: в случае полуцелого спина (фермионы) действует статистика Ферми — Дирака (Ферми-газ), в случае целого спина (бозоны) — статистика Бозе — Эйнштейна (Бозе-газ)[19].

Ферми-газ[править | править вики-текст]

Для фермионов действует принцип Паули, запрещающий двум тождественным фермионам находиться в одном квантовом состоянии[20]. Вследствие этого при абсолютном нуле температуры импульсы частиц и, соответственно, давление и плотность энергии Ферми-газа отличны от нуля и пропорциональны числу частиц в единице объёма[18]. Существует верхний предел энергии, который могут иметь частицы Ферми-газа при абсолютном нуле (Энергия Ферми ). Если энергия теплового движения частиц Ферми-газа значительно меньше энергии Ферми, то это состояние называют вырожденным газом[21].

Примерами Ферми-газов являются электронный газ в металлах, сильнолегированных и вырожденных полупроводниках, вырожденный газ электронов в белых карликах[21].

Бозе-газ[править | править вики-текст]

Распределение скоростей атомов рубидия вблизи абсолютного нуля. Слева — распределение до образования конденсата, в центре — после образования, справа — после испарения газообразной составляющей и появления чистого конденсата

Так как бозоны могут быть строго тождественны друг другу[22][23] и, соответственно, принцип Паули на них не распространяется, то при снижении температуры Бозе-газа ниже некоторой температуры возможен переход бозонов на наинизший энергетический уровень с нулевым импульсом, то есть образование конденсата Бозе — Эйнштейна. Поскольку давление газа равно сумме импульсов частиц, переданной стенке в единицу времени, при давление Бозе-газа зависит только от температуры. Этот эффект в 1995 году наблюдался экспериментально, а в 2001 году авторам эксперимента была присуждена Нобелевская премия[24].

Примерами Бозе-газов являются различного рода газы квазичастиц (слабых возбуждений) в твёрдых телах и жидкостях, сверхтекучая компонента гелия II, конденсата Бозе — Эйнштейна куперовских электронных пар при сверхпроводимости. Примером ультрарелятивистского бозе-газа является фотонный газ, например, тепловое излучение[22][23].

Идеальный газ в гравитационном поле[править | править вики-текст]

Изменение давления в земной атмосфере с высотой

В ОТО-релятивистской термодинамике при термическом равновесии газовой (жидкой) сферы собственная температура, измеряемая местным наблюдателем, понижается при перемещении по радиусу от центра сферы к её поверхности. Этот релятивистский эффект невелик (исключая случай сверхсильных гравитационных полей) и у поверхности Земли им пренебрегают[25].

Реальное воздействие гравитационного поля на газ (жидкость) проявляется в первую очередь через зависимость гидростатического давления от высоты столба газа (жидкости). Влияние поля тяготения на термодинамические свойства системы можно не учитывать в том случае, когда изменение давления по высоте много меньше абсолютной величины давления. Не выходя за рамки термодинамики, Дж. Максвелл установил[26][27][28], что «…в вертикальной колонне газа, предоставленного самому себе, температура повсюду одинакова после того, как колонна достигла теплового равновесия посредством теплопроводности; другими словами, тяжесть не оказывает никакого влияния на распределение температур в колонне», и что этот вывод справедлив для любых газов (жидкостей), то есть равенство температур по всему объёму системы есть необходимое условие равновесия в гравитационном поле[29][30][31][32]. Методами молекулярно-кинетической теории этот же результат для газов был получен Л. Больцманом[33].

Зависимость давления от высоты изотермического столба идеального газа даёт барометрическая формула. В простейшей термодинамической модели, объясняющей наблюдаемую неизотермичность земной атмосферы, рассматривают не равновесное, а стационарное состояние столба идеального газа, достигаемое равновесным адиабатическим процессом циркуляции воздуха, когда теплопередача в сторону убыли температуры (вверх), уравновешивается переносом потенциальной энергии молекул воздуха в обратном направлении[34][35].

Совершенный газ (гидроаэромеханика)[править | править вики-текст]

В отличие от термодинамики в гидроаэромеханике газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона — Менделеева, называют совершенным. У совершенного газа молярные изохорная и изобарная теплоёмкости постоянны. В то же время идеальным в гидроаэромеханике называют газ, у которого отсутствуют вязкость и теплопроводность. Модель совершенного газа широко применяют при исследовании течения газов[36].

Пределы применимости теории идеального газа[править | править вики-текст]

Если плотность газа повышается, то столкновения молекул начинают играть всё бо́льшую роль и пренебрегать размерами и взаимодействием молекул становится невозможным. Поведение такого газа плохо описывается моделью идеального газа, в связи с чем его называют реальным газом[1]. Для описания реальных газов применяются различные модифицированные уравнения состояния, например, вириальное разложение.

Другое широко используемое уравнение получается, если учесть, что молекула не бесконечно мала, а имеет определённый диаметр , то уравнение Менделеева — Клапейрона для одного моля газа примет вид[37]:

,

при этом величина равна[37]:

,

где — число молекул в газе. Учёт дополнительно сил межмолекулярного притяжения (сил Ван-дер-Ваальса) приведёт к изменению уравнения до уравнения Ван-дер-Ваальса[37]:

.

Существует ряд эмпирических уравнений состояния, например Бертло и Клаузиуса, которые ещё лучше описывают поведение реального газа в определённых условиях[38].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Любитов Ю. Н. Идеальный газ // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 98. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  2. Герасимов Я. И. и др., Курс физической химии, т. 1, 1970, с. 50.
  3. Кубо Р., Термодинамика, 1970, с. 25.
  4. Белоконь, 1968, с. 29.
  5. Кудрявцев, 1956, с. 185—186.
  6. Gay-Lussac, J. L. Recherches sur la dilatation des gaz et des vapeurs // Annales de chimie. — 1802. — Vol. XLIII. — P. 137.
  7. Clapeyron, E. (1834). «Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur». Journal de l'École Polytechnique XIV: 153–90.  (фр.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 153—90).
  8. Белоконь, 1954, с. 47.
  9. Krönig, A. (1856). «Grundzüge einer Theorie der Gase». Annalen der Physik 99 (10): 315–22. DOI:10.1002/andp.18561751008. Bibcode1856AnP...175..315K.  (нем.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 315—22).
  10. Clausius, R. (1857). «Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen». Annalen der Physik und Chemie 176 (3): 353–79. DOI:10.1002/andp.18571760302. Bibcode1857AnP...176..353C.  (нем.) Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 353—79).
  11. Клаузиус // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  12. Коган М. Н. Динамика разреженного газа // Кинетическая теория. — М., 1967
  13. 1 2 Савельев, 2001, с. 24.
  14. 1 2 3 Савельев, 2001, с. 29—32.
  15. 1 2 Савельев, 2001, с. 53—56.
  16. Савельев, 2001, с. 53-56.
  17. Савельев, 2001, с. 77—80.
  18. 1 2 Савельев, квантовая оптика, 2001, с. 205—208.
  19. F. Reif, 1965, pp. 246—248.
  20. Kenneth S. Krane, 1987, с. 123—125.
  21. 1 2 Савельев, квантовая оптика, 2001, с. 218—224.
  22. 1 2 Einstein A. (1924). «Quantentheorie des einatomigen idealen Gases». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalisch-mathematische Klasse 1924: 261—267.  (нем.)
  23. 1 2 Einstein A. (1925). «Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, Zweite Abhandlung». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalisch-mathematische Klasse 1925: 3—14.  (нем.)
  24. Anderson, M. H.; Ensher, J. R.; Matthews, M. R.; Wieman, C. E.; Cornell, E. A. (1995). «Observation of Bose–Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor». Science 269: 198—201. DOI:10.1126/science.269.5221.198. PMID 17789847.  (англ.)
  25. Толмен Р., Относительность, термодинамика и космология, 1974, с. 320.
  26. Maxwell James Clerk, On the Dynamical Theory of Gases (1866), 2003.
  27. Maxwell, 1871.
  28. Максуэлл Клерк, Теория теплоты, 1888, с. 282.
  29. Кириллин В. А. и др., Техническая термодинамика, 2008, с. 139.
  30. Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика, 1982, с. 147.
  31. Мюнстер А., Химическая термодинамика, 1971, с. 276.
  32. A Commentary on the Scientific Writings of J. Willard Gibbs, vol. 1, 1936, p. 327.
  33. Эренфест, 1972.
  34. Яковлев В. Ф., Курс физики. Теплота и молекулярная физика, 1976, с. 313—316.
  35. Сычев В. В., Сложные термодинамические системы, 2009, с. 186—190.
  36. Вишневецкий Л. С. Совершенный газ // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 569. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.
  37. 1 2 3 Сивухин, 1975, с. 375-378.
  38. Сивухин, 1975, с. 382-384.

Литература[править | править вики-текст]

  1. A Commentary on the Scientific Writings of J. Willard Gibbs. Vol. I. Thermodynamics / Edited by Donnan F.G., Haas Arthur. — New Haven — London — Oxford: Yale University Press; Humphrey Milford; Oxford University Press, 1936. — xxiii +742 p.
  2. Maxwell J. C. On the Dynamical Theory of Gases. — The Scientific Papers of James Clerk Maxwell. Vol. 2. — N. Y.: Dover Publications, Inc., 2003. — xxxi + 607 p. — (Dover Phoenix Editions). — ISBN 978-0486-49560-6.
  3. Maxwell J. C. Theory of Heat. — London: Longmans, Green, and Co., 1871. — xii + 312 p.
  4. Белоконь Н. И. Термодинамика. — М.: Госэнергоиздат, 1954. — 416 с.
  5. Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
  6. Maslov V. P. Mathematical conception of the gas theory.
  7. Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М.: Химия, 1970. — Т. I. — 592 с.
  8. Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика / Отв. ред. Д. Н. Зубарев. — М.: Наука, 1982. — 584 с. — (Классики науки).
  9. Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд. дом МЭИ, 2008. — 496 с. — ISBN 978-5-383-00263-6.
  10. Кубо Р. Термодинамика. — М.: Мир, 1970. — 304 с.
  11. Кудрявцев П. С. История физики. — М.: Гос. учебно-педагог. изд-во, 1956. — Т. 1. От античной физики до Менделеева. — 564 с. — 25 000 экз.
  12. Максуэлл Клерк. Теория теплоты в элементарной обработке / Перевод с 7-го английского издания А. Л. Королькова. — Киев: Типография И. Н. Кушнерева и К°, 1888. — vi + 292 с.
  13. Мюнстер А. Химическая термодинамика / Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
  14. Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.
  15. Савельев И. В. Курс общей физики:Квантовая оптика.Атомная физика. Физика твёрдого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц.. — М.: Астрель, 2001. — Т. 5. — 368 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004587-5.
  16. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1975. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.
  17. Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
  18. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология / Пер. с англ. под ред. Я. А. Смородинского. — М.: Наука, 1974. — 520 с.
  19. Эренфест П. Об одном старом заблуждении относительно теплового равновесия газа в поле тяготения. — П. Эренфест. Относительность. Кванты. Статистика. — М.: Наука, 1972. — 360 с.
  20. Яковлев В. Ф. Курс физики. Теплота и молекулярная физика. — М.: Просвещение, 1976. — 320 с.
  21. Kenneth S. Krane. Introductory Nuclear Physics. — Wiley, 1987. — ISBN 978-0-471-80553-3.
  22. F. Reif. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — McGraw–Hill, 1965. — ISBN 978-0-07-051800-1.