Изогения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Изогения — это морфизм алгебраических групп, являющийся сюръективным и имеющий конечное ядро.

Если группами служат абелевы многообразия, то любой морфизм лежащего в основе алгебраического многообразия, являющегося сюръективным с конечными слоями, автоматически является изогенией, обеспечивая . Такая изогения f даёт гомоморфизм групп между группами k-значных точек[1] многообразий A и B для любого поля k, над которым f определено.

Термины «изогения» и «изогенный» происходят от греческого слова ισογενη-ς, означающего «равный в некотором смысле». Термин «изогения» ввёл Андре Вейль, до этого вместо термина «изогения» использовался запутывающий термин «изоморфизм».

Случай абелевых многообразий[править | править код]

Изогенные эллиптические кривые к многообразию E можно получить факторизцией E по конечным подгруппам, которые представлены как подгруппы 4-кручения

Для абелевых многообразий, таких как эллиптические кривые, это понятие можно сформулировать следующим образом:

Пусть E1 и E2 — абелевы многообразия одинаковой размерности над полем k. Изогения между E1 и E2 — это плотный морфизм многообразий, сохраняющий базовые точки (то есть f отображает единицу на E1 и единицу на E2)[2].

Это эквивалентно вышеприведённому понятию, поскольку любой плотный морфизм[3] между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп.

Два абелевых многообразия E1 и E2 называются изогенными, если существует изогения . Это соотношение эквивалентности, симметричное ввиду существования двойственной изогении[en]. Как и выше, любая изогения индуцирует гомоморфизм групп k-значных точек абелевых многообразий.

Примечания[править | править код]

  1. Если X­ — предсхема, то морфизмы из S в X, то есть элементы , будут называться S-значными точками X или S-рациональными точками X (Мамфорд, 1968, p. 29).
  2. Курносов, 2016, с. 69.
  3. Плотный морфизм — это морфизм с плотным образом (Nica, 2010, p. 2).

Литература[править | править код]

  • Serge Lang. Abelian Varieties. — Springer Verlag, 1983. — ISBN 3-540-90875-7.
  • David Mumford. Abelian Varieties. — Oxford University Press, 1974. — ISBN 0-19-560528-4.
  • Курносов Никон Михайлович. Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий. — Москва, 2016. — (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук).
  • Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. / Под редакцией Ю. И. Манина. Перевод с английского А. А. Бельского. — «Наука», 1968. — (Библиотека сборника «Математика»).
  • Bogdan Nica. SPECTRAL MORPHISMS, K-THEORY, AND STABLE RANKS. — 2010. — arXiv:1005.2987v1.