Изогональное сопряжение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Точки P и P* изогонально сопряжены
Преобразование над точками внутри треугольника

Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование.

Определение[править | править вики-текст]

Точки P и Q называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными[1]) (в треугольнике ABC), если \angle ABP = \angle CBQ, \angle BAP = \angle CAQ, \angle BCP = \angle ACQ. Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.

Свойства изогонального сопряжения[править | править вики-текст]

Пары изогонально сопряжённых точек[править | править вики-текст]

Координатная запись[править | править вики-текст]

В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как (x:y:z)\ \mapsto \left(\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z}\right)\,, где a, b, c — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму (x:y:z)\ \mapsto (\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z}), поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.

Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению.[2]

Следствия[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
  2. Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях