Изогональное сопряжение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Точки и изогонально сопряжены
Преобразование над точками внутри треугольника

Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника относительно биссектрис углов треугольника.

Определение[править | править вики-текст]

Точки и называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными[1]) в треугольнике , если , , . Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
  • Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
  • Если точки , , симметричны точке относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности изогонально сопряжён точке .
  • Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.
  • Проекции двух изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное) [2]. Центр этой окружности — середина отрезка между сопряжёнными точками. Частный случай — окружность девяти точек.
  • Последнее означает, что подерные окружности двух изогонально сопряженных точек совпадают. В частности, подерной окружностью ортоцентра и центра описанной окружности является окружность Эйлера. Подерной или педальной окружностью называют описанную окружность подерного треугольника.
  • Две точки треугольника изогонально сопряжены тогда и только тогда, когда произведения трех их расстояний до трех сторон треугольника равны [3].

Пары изогонально сопряженных линий[править | править вики-текст]

  • Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
  • Если коника изогонально сопряжена прямой , то трилинейные поляры всех точек на будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу .
  • Некоторые известные кубики, например, кубика Томпсона, кубика Дарбу, кубика Нейберга (Thompson cubic, Darboux cubic, Neuberg cubic) изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Пары изогонально сопряжённых точек[править | править вики-текст]

Координатная запись[править | править вики-текст]

В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как:

,

где , ,  — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму:

,

поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.

Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению[4].

Следствия[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
  2. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
  3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
  4. Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях

См. также[править | править вики-текст]