Икосаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Икосаэдр[1]) — это многогранник с 20 гранями. Название происходит от др.-греч. εἴκοσι — двадцать и ἕδρα — площадка.

Существует бесконечно много непохожих икосаэдров, некоторые из которых имеют больше симметрий, другие меньше. Наиболее известен (выпуклый, незвёздчатый) правильный икосаэдр — один из правильных многогранников, гранями которого являются 20 правильных треугольников.

Правильный икосаэдр[править | править код]

Два вида правильных икосаэдров
Icosahedron.png
Выпуклый правильный икосаэдр
Great icosahedron.png
Большой икосаэдр

Имеется два тела, одно выпуклое и одно невыпуклое, оба из которых называются правильными икосаэдрами. Оба имеют 30 рёбер и 20 граней в виде правильных треугольников, которые сходятся по пять в каждой из его двенадцати вершин. Оба имеют икосаэдральную симметрию. Термин «правильный икосаэдр» обычно относится к выпуклому виду, а невыпуклая форма называется большим икосаэдром.

Выпуклый правильный икосаэдр[править | править код]

Основная статья: Правильный икосаэдр

Под выпуклым правильным икосаэдром обычно понимается правильный икосаэдр, один из пяти правильных многогранников, и он представлен символом Шлефли {3, 5}. Многогранник имеет 20 треугольных граней по 5 граней в каждой вершине.

Его двойственным многогранником является правильный додекаэдр {5, 3}, имеющий три правильных пятиугольных грани вокруг каждой вершины.

Большой икосаэдр[править | править код]

Основная статья: Большой икосаэдр

Большой икосаэдр является одним из четырёх звёздчатых тел Кеплера — Пуансо. Его Символ Шлефли равен {3, 52}. Подобно выпуклому виду он имеет также 20 граней в виде правильных треугольников, но его вершинной фигурой служит пентаграмма, а не пятиугольник, что приводит к геометрически пересекающимся граням. Пересечения треугольников не представляют новых рёбер.

Его двойственным многогранником является большой звёздчатый додекаэдр {52, 3}, имеющий три правильных звёздчатых пятиугольных грани вокруг каждой вершины.

Звёздчатые формы икосаэдра[править | править код]

Образование звёздчатой формы — это процесс расширения граней или рёбер многогранника, пока они не соприкоснутся с образованием нового многогранника. Это осуществляется симметрично, так что результирующее тело сохраняет все симметрии родительского тела.

В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» (The Fifty-Nine Icosahedra) Коксетера с соавторами перечислено 58 таких звёздчатых форм правильного икосаэдра .

Из них многие имеют отдельную грань в каждой из 20 плоскостей, а потому являются также икосаэдрами. Большой икосаэдр среди них.

Другие звёздчатые формы имею более одной грани на каждой плоскости или формируются как соединение более простых многогранников. Они не являются, строго говоря, икосаэдрами, хотя и упоминаются часто как таковые.

Пиритоэдральная симметрия[править | править код]

Пиритоэдральная и тетраэдральная симметрии
Диаграммы Коксетера CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png (пираэдральная) Uniform polyhedron-43-h01.svg
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png (тетраэдральный) Uniform polyhedron-33-s012.svg
Символ Шлефли s{3,4}
sr{3,3} или
Грани 20 треугольников:
8 правильных
12 равнобедренных
Рёбра 30 (6 коротких + 24 длинных)
Вершины 12
Группа симметрии Th, [4,3+], (3*2), порядок 24
Группы вращений Td, [3,3]+, (332), порядок 12
Двойственный многогранник пиритоэдр
Свойства выпуклый
Pseudoicosahedron flat.png
Развёртка
Icosahedron in cuboctahedron.png Icosahedron in cuboctahedron net.png
Правильный икосаэдр топологически идентичен кубооктаэдру с 6 квадратными гранями, разбитыми по диагоналям.

Правильный икосаэдр может быть искривлён или размечен так, что он будет обладать более низкой пироэдральной симметрией[2] и он называется плосконосым октаэдром, плосконосым тетратетраэдом, плосконосым тетраэдром и псевдоикосаэдром. Его можно рассматривать как альтернированный[en] усечённый октаэдр. Если все треугольники правильные, симметрии можно различить путём раскраски 8 и 12 наборов треугольников различным образом.

Пиритоэдральная симметрия имеет символ (3*2), [3+,4] и порядок 24. Тетраэдральная симметрия имеет символ (332), [3,3]+ и порядок 12. Эти низкие симметрии позволяют искривление из 20 равносторонних треугольных граней, получая 8 правильных треугольников и 12 конгруэнтных равнобедренных треугольников.

Эти симметри дают диаграммы Коксетера: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png и CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png соответственно, и оба обладают более низкой симметрией, чем симметрии CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, (*532), [5,3] порядка 120 правильного икосаэдра.

Декартовы координаты[править | править код]

Построение из вершин усечённого октаэдра, показаны внутренние прямоугольники.

Координаты 12 вершин могут быть заданы векторами, определёными всеми положительными циклическими перестановками и изменениям знака координат вида (2, 1, 0). Эти координаты представляют усечённый октаэдр с альтернированным[en] удалением вершин.

Это построение называется плосконосым тетраэдром, если образовано из вектора (ϕ, 1, 0), где ϕ является золотым сечением[2].

Икосаэдр Йессена[править | править код]

Правильный икосаэдр и икосаэдр Йессена.
Основная статья: Икосаэдр Йессена

В икосаэдре Йессена, который иногда называют ортогональным икосаэдром Йессена, 12 равнобедренных граней расположены иначе, так что образуют невыпуклое тело. Он имеет прямые двугранные углы.

Он равносоставлен с кубом, что значит, что его можно разрезать на более мелкие многогранники, из которых можно составить полный куб.

Другие икосаэдры[править | править код]

Ромбоикосаэдр[править | править код]

Основная статья: Ромбоикосаэдр

Ромбоикосаэдр[en] является зоноэдром, состоящим из 20 равных ромбов. Он может быть получен из ромботриаконтаэдра путём удаления 10 средних гранях. Хотя все грани конгруэнтны, ромбоикосаэдр не гране транзитивен.

Симметрии пирамиды и призмы[править | править код]

Общие симметрии икосаэдра с пирамидами и призмами:

Правильногранные многогранники[править | править код]

Некоторые правильногранные многогранники являются икосаэдрами[3]: даны обозначения Джонсона и Залгаллера

J2246) J35464) J3646+М4) J593153) J6015+2М3) J9220)
Gyroelongated triangular cupola.png
Скрученно удлинённый трёхскатный купол[en]
Elongated triangular orthobicupola.png
Удлинённый трёхскатный прямой бикупол
Elongated triangular gyrobicupola.png
Удлинённый трёхскатный повёрнутый бикупол
Parabiaugmented dodecahedron.png
Дважды противоположно наращённый додекаэдр
Metabiaugmented dodecahedron.png
Дважды косо наращённый додекаэдр
Triangular hebesphenorotunda.png
Уплощённая треугольная клиноротонда
Johnson solid 22 net.png Johnson solid 35 net.png Johnson solid 36 net.png Johnson solid 59 net.png Johnson solid 60 net.png Johnson solid 92 net.png
16 треугольников
3 квадрата
 
1 шестиугольник
8 треугольников
12 квадратов
8 треугольников
12 квадратов
10 треугольников
 
10 пятиугольников
10 треугольников
 
10 пятиугольников
13 треугольников
3 квадрата
3 пятиугольника
1 шестиугольник

Примечания[править | править код]

  1. Jones, 2003.
  2. 1 2 John Baez. Fool's Gold (September 11, 2011).
  3. Icosahedron on Mathworld.

Литература[править | править код]

  • Daniel Jones. English Pronouncing Dictionary / Peter Roach, James Hartmann, Jane Setter. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — ISBN 3-12-539683-2.