Инвариантная мера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностей[1].

Определение[править | править вики-текст]

В теории динамических систем, мера на пространстве называется инвариантной для измеримого отображения , если она совпадает со своим образом [2]. В силу определения, это означает, что

Для обратимых отображений переход к прообразу в (*) может быть заменён на переход к образу: если отображение также измеримо в смысле , то эквивалентным является определение

Однако в общей ситуации изменять определение таким образом нельзя: мера Лебега на окружности инвариантна относительно отображения удвоения , однако мера дуги отлична от меры её образа .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Отображение [3]. Уравнение Перрона-Фробениуса для него имеет вид . Подставляя это выражение в его же правую часть, получаем: . Повторяя эту подстановку раз, получаем: . Эта мера устойчива, то есть произвольная непрерывная мера будет сходится к ней.
  • Отображение или [4]. Существование устойчивой непрерывной инвариантной меры с доказывается аналогично.
  • Логистическое отображение [4]. Производим замену , получаем , , что можно преобразовать к виду (1). Следовательно, для \theta существует непрерывная постоянная плотность вероятности p(\theta) = 1. Плотность вероятности для x следует из нее p(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^{2}}}

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]