Индекс подгруппы

Индекс подгруппы $H$ в группе $G$ ― число классов смежности в каждом (правом или левом) из разложений группы $G$ по этой подгруппе $H$ (в бесконечном случае ― мощность множества этих классов).

Индекс подгруппы $H$ в группе $G$ обычно обозначается $[G:H]$.

Связанные определения

• Если число смежных классов конечно, то $H$ называется подгруппой конечного индекса в $G$.

Свойства

• Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса само имеет конечный индекс (теорема Пуанкаре).
• Произведение порядка подгруппы $H$ на её индекс $[G:H]$ равно порядку группы $G$ (теорема Лагранжа).
  • Это соотношение имеет место как для конечной группы $G$, так и в случае бесконечной $G$ ― для соответствующих мощностей.
• Формула Дея — рекурсивная формула для выражения числа $N_{n}$ подгрупп данного индекса данной группы $G$ через число гомоморфизмов $H_{n}$ из $G$ в симметрическую группу $S_{n}$.

  $N_{n}={\frac {H_{n}}{(n-1)!}}-\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {N_{i}{\cdot }H_{n-i}}{(n-i)!}}$

Литература

• Wilfried Imrich, On the number of subgroups of given index in $SL_{2}(\mathbb {Z} )$, Archiv der Mathematik, December 1978, Volume 31, Number 1, 224-231