Индуктивное множество

Индуктивное множество — множество, элементами которого являются пустое множество и каждый следователь любых своих элементов. Следователем элемента множества называют множество, которое является объединением элемента и множества, содержащего этот элемент как свой единственный член (все элементы индуктивного множества являются множествами). Об индуктивных множествах часто говорят в контексте аксиомы бесконечности.

С помощью индуктивного множества можно построить теоретико-множественную модель натуральных чисел.

При условии истинности аксиомы выбора все существующие множества являются либо индуктивными, либо рефлексивными, третьего не дано. Не существует множеств с мощностью, промежуточной между мощностями конечных и бесконечных множеств.

Определения

Определениe 1

Пусть $X$ — произвольное множество. $$\forall x\in X\quad x+1\in X.$$

Определениe 2

Пусть $A$ — произвольное множество. Следователем (по фон Нейману) множества $A$ называется множество $A\cup \{A\}$. Он обозначается $S(A)$.

Множество $X$ называется индуктивным, если выполнены 2 условия:

1. $\varnothing \in X$;
2. для каждого $A\in X$ $S(A)$ тоже входит в $X$.

Свойства

Далее описываются свойства индуктивных множеств в теории множеств Цермело-Френкеля. В любое индуктивное множество входят элементы $\varnothing ,S(\varnothing ),S(S(\varnothing )),S(S(S(\varnothing ))),\ldots$. Более того, пересечение всех индуктивных множеств есть в точности совокупность элементов такого вида. При помощи множеств такого вида строится основное определение натуральных чисел в ZF (определение фон Неймана): $0$ определяется как $\varnothing$, $1$ — как $S(\varnothing )$, $2$ — как $S(S(\varnothing ))$ и так далее. При таком определении множество натуральных чисел есть пересечение всех индуктивных множеств:

$\mathbb {N} =\bigcap \{x\;|\;x$ — индуктивно$\}$

Аксиома бесконечности в ZF обычно формулируется как «существует индуктивное множество». Из существования хотя бы одного индуктивного множества и схемы выделения сразу следует существование их пересечения, то есть множества натуральных чисел. Множество натуральных чисел является наименьшим по включению индуктивным множеством. Любое индукивное множество является бесконечным и даже более того, бесконечным по Дедекинду.

В теории множеств Цермело существование индуктивного множества нельзя ни доказать, ни опровергнуть, а натуральные числа там определяются по-другому.

Множество натуральных чисел

Наименьшее индуктивное множество, содержащее 0 (или 1).

См. также

• Бесконечное множество
• Конечное множество
• Система Цермело-Френкеля

Литература

• Френкель А. А., Бар-Хиллел Р. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.