Индуктивный предел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Индуктивный (или прямой) предел — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов и набору отображений , . Для индуктивного предела обычно используется обозначение

.

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

Определение[править | править вики-текст]

Алгебраические объекты[править | править вики-текст]

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть  — направленное множество с отношением предпорядка и пусть каждому элементу сопоставлен алгебраический объект , а каждой паре , , в которой , сопоставлен гомоморфизм , причём  — тождественные отображения для любого и для любых из . Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы  — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей по отношению эквивалентности:

Здесь и эквивалентны, если существует такое , что . Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть .

Из этого опредления легко получить канонические морфизмы , отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категории[править | править вики-текст]

DirectLimit-01.png

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы  — это объект категории, такой что выполняются следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений , что для любых ;
  2. для любого семейства отображений , в произвольное множества , для которого выполнены равенства для любых , существует единственное отображение , что , для всех .

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

Примеры[править | править вики-текст]

  • На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
  • Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pnZ и гомоморфизмов Z/pnZZ/pn+1Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p).
  • Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (UV если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), rU,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается Fx.
  • Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением финальной топологии[en] соответствующему множеству-носителю.

Литература[править | править вики-текст]