Индуцированная топология

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Индуци́рованная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Пусть также . Определим — семейство подмножеств следующим образом:

Несложно проверить, что является топологией на . Эта топология называется индуцированной топологией . Топологическое пространство называется подпростра́нством .

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть – произвольное множество, – топологическое пространство и – произвольное отображение в . Тогда в качестве возьмем всевозможные множества вида (), где – открытые множества в . Топология называется индуцированной отображением топологией. Она хороша тем, что отображение в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства , для которых отображение будет непрерывным.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел , является дискретной.