Интегральная показательная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции \operatorname{Ei}(x)

Интегральная показательная функцияспециальная функция, обозначаемая символом \operatorname{Ei}.

Определение на множестве вещественных чисел[править | править вики-текст]

Наиболее распространено следующее определение \operatorname{Ei}:

\operatorname{Ei} (x)=\mathrm{v.p.}\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt
=\gamma+\operatorname{ln}|x|+\sum\limits_{n\ge1}\frac{x^n}{n!\cdot n}, \;  x\in\mathbb R,\; (1)

где \gamma есть постоянная Эйлера. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Основное определение[править | править вики-текст]

Интегральная показательная функцияспециальная функция, определяемая интегралом[1]

\operatorname{Ei}(z)=\int\limits_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\,\mathrm dt
=\gamma+\operatorname{ln}(-z)+\sum\limits_{n\ge1}\frac{z^n}{n!\cdot n}, \;  |\arg(-z)|<\pi, \;(2)

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от z, но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку t=0, в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно 1/t. Таким образом, функция \operatorname{Ei}(z) является многозначной, а особая точка z=0 является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией \operatorname{ln}z, различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном z) кратно 2\pi i.

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) \operatorname{Ei}, соответствующую главной ветви \operatorname{ln} в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для \operatorname{ln}z (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции \operatorname{Ei}(z). Фиксируем также и главную ветвь аргумента: -\pi<\operatorname{arg}z\le\pi и далее будем считать, что \operatorname{Ei} – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение \operatorname{Ei} при вычислении интегралов[править | править вики-текст]

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию \operatorname{Ei} и элементарные функции.[1]

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функци рассмотрим (предполагая, что b>0)


\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+iz}=
\begin{cases}
-e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz),& \operatorname{arg}z\not\in[\pi/2,\pi],\\
-e^{bz}\left[\operatorname{Ei}(-bz)-2\pi i\right],& \operatorname{arg}z\in(\pi/2,\pi).
\end{cases}\;(2)

Из (2) следует, что при вещественных значениях y и b


\int\limits_0^{\infty}\frac{x\cos bx\,\mathrm dx}{x^2+y^2}=
-\frac12\left[e^{|by|}\operatorname{Ei}(-|by|)+e^{-|by|}\operatorname{Ei}_1(|by|)\right],\;(3)

где \operatorname{Ei}_1 есть т.н. модифицированная интегральная показательная функция [1]:


\operatorname{Ei}_1 (y)=\frac12
\left[\operatorname{Ei}(y+i0)+\operatorname{Ei}(y-i0)\right]
=\gamma+\operatorname{ln}y+\sum\limits_{n\ge 1}\frac{y^n}{n!\cdot n},\; y>0,\;\operatorname{Ei}_1 (y)\in\mathbb R.\;(4)

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию \operatorname{Ei}_1 обозначают символом \operatorname{Ei}, что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла


\int_0^\infty\frac{x\sin bx\,\mathrm dx}{x^2+z^2}=\frac\pi2\operatorname{exp}[-bz\operatorname{sign}\Im z],\;b>0.

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов b и y. Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) \operatorname{Ei}] символа \operatorname{Ei}_1.

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра z:


\int_0^\infty\frac{x\cos bx\,\mathrm dx}{x^2+z^2}=
-\frac12\left\{e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz)+e^{-bz}\left[\operatorname{Ei}(bz)
+\pi i\operatorname{sign}\Im z\right]\right\},\;b>0,\; \Re z\ne 0.\;(5)

Формулу (3) для b>0 и y>0 можно получить, положив z=y\pm i0 в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений z и при условии, что для функции \operatorname{Ei} используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа \operatorname{Ei} вместо \operatorname{Ei}_1) нельзя полностью доверять также и справочникам.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. — 2. — 1963.
  2. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — Изд. 2-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 1. — С. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.