Интегральная показательная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функции

Интегральная показательная функцияспециальная функция, обозначаемая символом .

Определение на множестве вещественных чисел[править | править вики-текст]

Наиболее распространено следующее определение (см. график):

где есть постоянная Эйлера. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Основное определение[править | править вики-текст]

Интегральная показательная функцияспециальная функция, определяемая интегралом[1]

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от , но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку , в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно . Таким образом, функция является многозначной, а особая точка является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией , различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном ) кратно .

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) , соответствующую главной ветви в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции . Фиксируем также и главную ветвь аргумента: и далее будем считать, что – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение при вычислении интегралов[править | править вики-текст]

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию и элементарные функции.[1]

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функци рассмотрим (предполагая, что )

Из (2) следует, что при вещественных значениях и

где есть т.н. модифицированная интегральная показательная функция [1]:

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию обозначают символом , что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов и . Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) ] символа .

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра :

Формулу (3) для и можно получить, положив в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений и при условии, что для функции используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа вместо ) нельзя полностью доверять также и справочникам.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. — 2. — 1963.
  2. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — Изд. 2-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 1. — С. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.