Интегральное уравнение Вольтерры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегра́льное уравне́ние Вольте́рры (распространено ошибочное склонение — интегральное уравнение Вольтерра́[1]) — специальный тип интегральных уравнений. Данные уравнения делятся на два типа.

Линейное уравнение Вольтерры первого рода:

 f(t) = \int_a^t K(t,s)\,x(s)\,ds,

где f — заданная функция, x — неизвестная функция.

Линейное уравнение Вольтерры второго рода:

 x(t) = f(t) + \int_a^t K(t,s)x(s)\,ds.

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие уравнения называются оператором Вольтерры.

Решение линейного интегрального уравнения Вольтерры — это свёртка:

 x(t) = f(t) + \int_{t_0}^t K(t-s)x(s)\,ds.

Функция  K в интеграле часто называется ядром. Такие уравнения могут быть проанализированы и решены с помощью метода Лапласа.

Были введены Вито Вольтеррой, а затем изучались Трайаном Лалеску[en] в работе Sur les équations de Volterra, написанной в 1908 году под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску написал первую книгу об интегральных уравнениях.

Находят применение в демографии, изучении вязко-упругих материалов, в страховой математике через уравнение восстановления.

Примечания[править | править исходный текст]