Интеграл Борвейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интегралы Борвейна — интегралы, рассмотренные Джонатаном и Питером Борвейнами, в которых задействована функция sinc[1][2].

В этих интегралах появляется интересная закономерность, которая в конце исчезает:

Эта закономерность продолжается до

Но на следующем шаге она нарушается[3]:

В общем случае, такие интегралы равны π2, если числа 3, 5, 7… заменить на положительные числа таки образом, что сумма обратных им чисел меньше одного.

В нашем примере 13 + 15 + … + 113 < 1, но 13 + 15 + … + 115 > 1.

Пример более длинного ряда:

,

но

как показано в статье Шмида Ханспетера[4]. В этом случае это связано с тем, что 13 + 15 + … + 1111 < 2, но 13 + 15 + … + 1113 > 2.

Джонатан Борвейн, зная, что закономерность нарушается на восьмом элементе, написал в службу поддержки программного пакета Maple заявку о «баге». У разработчика Жака Каретта заняло трое суток понять, что это не ошибка[5].

Примечания[править | править код]

  1. Borwein, David & Borwein, Jonathan M. (2001), "Some remarkable properties of sinc and related integrals", The Ramanujan Journal Т. 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090, DOI 10.1023/A:1011497229317 
  2. Baillie, Robert (2011), "Fun With Very Large Numbers", arΧiv:1105.3943 [math.NT] 
  3. Математика, которая мне нравится Интересная последовательность
  4. Schmid, Hanspeter (2014), "Two curious integrals and a graphic proof", Elemente der Mathematik Т. 69 (1): 11–17, ISSN 0013-6018, doi:10.4171/EM/239, <http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf> 
  5. https://habrahabr.ru/post/146140/ Хабрахабр Нескучные интегралы