Интеграл Коши — Лагранжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений.

Варианты названия[править | править код]

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа[1] и интеграл Лагранжа — Коши[2] используются термины интеграл Коши[3], интеграл Лагранжа. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия[4], либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (англ. unsteady Bernoulli equation[5], Bernoulli's theorem for unsteady potential flow[6])

Историческая справка[править | править код]

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Л.Эйлером[7]. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости[8] и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости[9].

Формулировка[править | править код]

Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести[править | править код]

В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид

где потенциал скорости, — давление в жидкости, — её плотность, ускорение свободного падения, , , — декартовы координаты (ось направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь — некоторая функция времени, которую можно считать тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

Общий случай[править | править код]

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, (такой процесс называется баротропным). В этом случае поле массовых сил (действующая на жидкость объемная сила в расчете на единицу массы) обязательно будет потенциальным: где — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости ), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
  2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §42. Интеграл Лагранжа — Коши.
  3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 1. — 584 с.
  4. Ламб Г. Гидродинамика. — М.-Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1947. — 928 с.
  5. Kundu P.K., Cohen I.M. Fluid Mechanics. — Academic Press, 2002. — 730 с.
  6. Faber Т.Е. Fluid dynamics for physicists. — Cambridge University Press, 1995. — 440 с.
  7. Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1757 (1755). — Т. 11. — С. 274–315., русский перевод: Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6., исторический комментарий:Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6.
  8. Lagrange. Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. — 1781.
  9. Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Sciences mathématiques et physiques. — 1827. — Т. 1.

Литература[править | править код]