Интеграл Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — самый известный вид определённого интеграла. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное описание[править | править код]

Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.

Интеграл Римана есть формализация понятия площади под графиком. Разобьём отрезок, над которым мы ищем площадь, на конечное число подотрезков. На каждом из подотрезков выберем некоторую точку графика и построим вертикальный прямоугольник с подотрезком в качестве основания до той самой точки графика. Рассмотрим фигуру, полученную из таких прямоугольников. Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами будет задаваться суммой:

Интуитивно понятно, что если мы будем уменьшать длины этих подотрезков, то площадь такой фигуры будет всё больше и больше приближаться к площади под графиком. Именно это замечание и приводит к определению интеграла Римана.

Определение[править | править код]

Классическое определение[править | править код]

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция . Будем считать .

Для определения интеграла прежде всего необходимо сначала определить понятие разбиения отрезка и остальные связанные с ним определения.

Разбиением (неразмеченным) отрезка назовём конечное множество точек отрезка , в которое входят точки и . Как видно из определения, в разбиение всегда входят хотя бы две точки. Точки разбиения можно расположить по возрастанию: . Множество всех разбиений отрезка будем обозначать .

Точки разбиения, между которыми нет других точек разбиения, называются соседними. Отрезок, концами которого являются соседние точки разбиения, называется частичным отрезком разбиения. Такие отрезки обозначим . Длину частичного отрезка разбиения обозначаим за . Длина наибольшего из отрезков называется диаметром разбиения. Для разбиения его диаметр обозначим как .

Разметкой разбиения называется конечное упорядоченное множество такое, что . Множество всех разметок разбиения будем обозначать как .

Размеченным разбиением называется упорядоченная пара , где — неразмеченное разбиение, — некоторая разметка . Множество всех размеченных разбиений отрезка будем обозначать как .

После всех этих определений можно приступить к непосредственному определению интеграла Римана.

Пусть задано некоторое размеченное разбиение . Интегральной суммой Римана функции на размеченном разбиении называется . Интегралом Римана будет предел этих сумм при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю. Однако здесь есть одна тонкость: это предел от функции с отмеченными разбиениями в качестве аргументов, а не числами, и обычное понятие предела при стремлении к точке здесь неприменимо. Необходимо дать формальное описание того, что же мы имеем в виду под фразой «предел при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю»

Пусть — функция, ставящая в соответствие размеченному разбиению некоторое число. Число называется пределом функции при диаметре разбиений, стремящемуся к нулю, если

Обозначение:

Такой предел является частным случаем предела по базе. Действительно, обозначим множество всех размеченных разбиений с диаметром меньше как . Тогда множество является базой на множестве , а предел, определённый выше, есть не что иное, как предел по этой базе. Таким образом, для таких пределов выполняются все свойства, присущие пределам по базе.

Наконец, мы можем дать определение интеграла Римана. Интегралом Римана функции в пределах от до называется предел интегральных сумм Римана функции на размеченных разбиениях отрезка при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю. С использованием обозначения интеграла это записывается так:

Функция, для которой этот предел существует и конечен, называется интегрируемой по Риману на отрезке [a;b].[1]

Интеграл Римана также определяется для случая . Для он определяется как

Для как

[2]

Также иногда имеет смысл определить интеграл Римана для функций, частично заданных на отрезке . Он определяется, если при любом достроении функции до полностью заданной её интеграл равен одному и тому же значению. В этом случае это значение считается интегралом Римана от частично заданной функции.

Интегральные суммы на самом деле могут быть определены не только для вещественнозначных функций, а вообще для любых функций, со значениями в произвольном векторном пространстве над . Предел по базе же может быть определён для функций, со значениями в любом топологическом пространстве. Таким образом, интеграл Римана можно определить для функций, со значениями в любом топологическом векторном пространстве над .

Через интегралы Дарбу[править | править код]

Интеграл Римана можно определить альтернативным способом через интегралы Дарбу. Обычно такое определение доказывается как свойство, а теорема об их эквивалентности называется теоремой Дарбу. Преимущества такого определения в том, что оно позволяет обойтись без понятия размеченного разбиения, предела по разбиению и даёт более наглядный взгляд на понятие интегрируемости.

Для неразмеченного разбиения обозначим за точную нижнюю грань функции на отрезке , за — точную верхнюю грань.

Нижней суммой Дарбу называется .

Верхней суммой Дарбу называется .[3]

Нижним интегралом Дарбу называется .

Верхним интегралом Дарбу называется .[4]

Интегралы Дарбу существуют для любой ограниченной на отрезке интегрирования функции. Если интегралы Дарбу совпадают и конечны, то функция называется интегрируемой по Риману на отрезке , а само это число — интегралом Римана.[5]

Интеграл Дарбу может быть определён также через предел по неразмеченным разбиениям, при диаметре разбиения, стремящемуся к нулю. Предел по неразмеченным разбиениям определяется аналогично пределу по размеченным, но мы дадим формализацию и этого понятия тоже. Пусть — функция, ставящая в соответствие неразмеченному разбиению некоторое число. Число называется пределом функции при диаметре разбиений, стремящемуся к нулю, если

Обозначение:

Такой предел также является частным случаем предела по базе. Базой здесь будет множество , где . Тогда:

Нижним интегралом Дарбу называется .

Верхним интегралом Дарбу называется .

Условия существования интеграла Римана[править | править код]

Критерий Дарбу[править | править код]

Функция интегрируема по Риману на отрезке , тогда и только тогда, когда верхний интеграл Дарбу совпадает с нижним и конечен.

Критерий Римана[править | править код]

Определим колебание функции на множестве как .

Тогда -суммой функции на разбиении называется .

Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и предел -сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю равен .

Критерий Римана можно также сформулировать при помощи понятия точной грани, а не предела: функция интегрируема тогда и только тогда, когда .

Критерий Дюбуа-Реймона[править | править код]

Определим колебание функции в точке как точную нижнюю грань значения колебаний функции в окрестности этой точки (если область определения функции не включает полную окрестность точки, то тогда рассматриваются только те точки окрестности, которые входят в область определения).

По сути колебание функции в точки представляет собой отличие функции от непрерывной. В точке непрерывности оно равно , в точке разрыва оно больше .

Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена и для любых множество всех точек в котором имеет нулевую меру Жордана (то есть для любого может быть покрыто конечным множеством интервалов c суммарной длиной меньше ).

Критерий Лебега[править | править код]

Функция интегрируема по Риману на отрезке , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру Лебега (то есть для любого может быть покрыто счётным семейством интервалов c суммарной длиной меньше ).

Достаточные условия интегрируемости[править | править код]

Перечислим несколько достаточных условий интегрируемости.

  • Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём
  • Ограниченная на отрезке функция, разрывная в конечном числе его точек, интегрируема на этом отрезке
  • Ограниченная и монотонная на отрезке функция, интегрируема на нём
  • Произведение интегрируемой функции на число интегрируемо
  • Сумма интегрируемых функций интегрируема
  • Произведение интегрируемых функций интегрируема
  • Деление интегрируемой функции на интегрируемую функцию, не принимающей на отрезке интегрирования значения , интегрируемо.
  • Модуль интегрируемой функции интегрируем.
  • Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она интегрируема на любом из его подотрезков.
  • Пусть и функция интегрируема на и . Тогда она интегрируема на .

Свойства[править | править код]

Дальнейшие свойства выполняются только если соответствующие интегралы существуют.

  • Необходимое условие интегрируемости. Интегрируемая на отрезке функция ограничена на нём.
  • Неотрицательность. Для неотрицательной на отрезке функции,
  • Положительность. Для неотрицательной и непрерывной на отрезке функции, , которая хотя бы в одной точке отлична от нуля
  • Линейность.
Для существования всех этих трёх интегралов достаточно существования двух из них.
Для существования всех этих двух интегралов достаточно существования одного из них.
  • Аддитивность. Для произвольных чисел
Для существования всех этих трёх интегралов достаточно либо существования интеграла по большему отрезку, либо по двум меньшим.
  • Монотонность. Пусть и на . Тогда
  • Оценка. Пусть , , . Тогда
  • Оценка модуля. Пусть .
Для существования всех этих двух интегралов достаточно существования левого интеграла.
Существует вариация этого свойства на случай произвольных и .
  • Теорема о среднем. Средним значением функции на отрезке называется .
Теорема о среднем гласит: непрерывная на отрезке функция в некоторой точке этого отрезка принимает своё среднее значение.
В такой записи теорема о среднем верна для любых значений и .
  • Вторая теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция интегрируема и знакопостоянна. Тогда
Теорема вновь верна для любых и .

Интеграл с верхним переменным пределом[править | править код]

Функция , определяемая при помощи интеграла следующим образом

называется интегралом с верхним переменным пределом.

Свойства:

  • Во всех точках , для которых интегрируема на , интеграл с верхним переменным пределом непрерывен.
  • В точках , в которых непрерывна, интеграл с верхним переменным пределом дифференцируем и значение его производной равно .

Последнее свойство позволяет с помощью интеграла с верхним переменным пределом записать первообразную функции. Таким образом, оно связывает неопределённый интеграл и определённый следующим соотношением:

Вычисление[править | править код]

Для вычисления интегралов Римана в простейших случаях используется формула Ньютона-Лейбница, которая является следствием свойств интеграла с верхним переменным пределом.

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть непрерывна на , её первообразная на , . Тогда

История[править | править код]

Приведенное выше определение интеграла дано Коши[6], оно применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году[7], на русском языке впервые в 1914 году[8][9]) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — М.: Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 8-е. — М.: Наука, 2003. — Т. 2. — 864 с.
  • Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 1-е изд. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. — ISBN 5-06-003596-4.
  • Cauchy A. L. Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. — Turin, 1831.
  • Riemann В. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1868. — Vol. 13. — P. 87-132.
  • Риман Б. О возможности выражения функции при помощи тригонометрического ряда // Разложение функций в тригонометрические ряды / Лежен-Дирикле, Риманн, Липшиц; Пер. Г. А. Грузинцева и С. Н. Бернштейна. — Харьков: Харьковское математическое общество, 1914. — (Харьковская математическая библиотека. Серия В; № 2).

Ссылки[править | править код]