Интеграл Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Геометрический смысл интеграла Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание[править | править вики-текст]

Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.

Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами будет интегральной суммой:

Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения - при хорошем «размельчении» разбиения (когда каждое стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения[править | править вики-текст]

Через интегральные суммы[править | править вики-текст]

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция .

Рассмотрим разбиение отрезка  — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков называется шагом разбиения, где — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции на отрезке , то есть .

В этом случае, сама функция называется интегрируемой (по Риману) на ; в противном случае является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке .

Через суммы Дарбу[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Невырожденность: .
  2. Положительность: Если интегрируемая функция неотрицательна, то её интеграл на отрезке также неотрицателен.
  3. Линейность: Если функции и интегрируемы, и , то функция тоже интегрируема, и .
  4. Непрерывность: Если интегрируемые функции равномерно сходятся на отрезке к функции , то интегрируема, и . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).
  5. Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть . Функция интегрируема на отрезке , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков и , при этом .
  6. Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
  7. Если функция является первообразной непрерывной функции , то интеграл функции на отрезке может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен . (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: , где  — произвольная константа.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана[править | править вики-текст]

Для того, чтобы функция была интегрируемой в сегменте , необходимо и достаточно, чтобы сумма стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения .

Здесь колебание функции в сегменте ,

колебание функции на множестве — разность ,
диаметр разбиения [1].

История[править | править вики-текст]

Такое определение интеграла дано Коши[2], но применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году[3] дал это же определение без предположения непрерывности.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
  2. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  3. Riemann В., «Göttinger Akad. Abhandl.», 1868, Bd 13