Интегрирование по частям

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

или

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода не оправдано.

Получение формул[править | править вики-текст]

Для неопределённого интеграла[править | править вики-текст]

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»: , что очевидно неверно.

Для определённого интеграла[править | править вики-текст]

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Данные формулы справедливы, если каждая из функций и непрерывно дифференцируемы на области интегрирования.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Иногда этот метод применяется несколько раз:
  • Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:
  • В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
Таким образом один интеграл выражается через другой:
Решив полученную систему, получаем:

Многомерный случай[править | править вики-текст]

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество , а вместо производной − частная производная.

Пусть открытое ограниченное подмножество с кусочно-гладкой границей . Если и гладкие функции на замыкании , то

где − внешняя нормаль к , а − её i-ая координата, i от 1 до n, - мера на .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки[править | править вики-текст]