Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

или

$\int u\,v'\,dx=u\,v-\int v\,u'\,dx$

для определённого:

$\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du$

Предполагается, что нахождение интеграла $\int v\, du$ проще, чем $\int u\, dv\,$. В противном случае применение метода неоправданно.

Получение формул

Для неопределённого интеграла

Функции $\textstyle\mathit{u}$ и $\textstyle\mathit{v}$ гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

$d(u\,v) = v\,du+u\,dv$

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

$\int d(u\,v) = \int v\,du+\int u\,dv$

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

$u\,v = \int v\,du+\int u\,dv$

После перестановок:

$\int u\,dv = u\,v-\int v\,du$

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

$\int \frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x - \int \frac{-1}{x^2}\cdot x dx=1+\int \frac{dx}{x}$

Отсюда «следствие»: $0=1$, что очевидно неверно.

Для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

$d(u\,v)=v\,du+u\,dv$

$\int\limits_a^b d(u\,v)=\int\limits_a^b v\,du+\int\limits_a^b u\,dv$

$\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du$

Данные формулы справедливы, если каждая из функций $u$ и $v$ непрерывно дифференцируемы на области интегрирования.

Примеры

• $\int x\cos x \,dx = \int x\,d(\sin x) =x\sin x - \int \sin x \,dx= x\sin x + \cos x + C$
• $\int e^x\,x\,dx=\int x\,d(e^x\,)=\int x\,de^x=x\,e^x-\int e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C$

• Иногда этот метод применяется несколько раз:

$\int x^2\sin x \,dx=\int x^2\,d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos x\,dx=$

$=-x^2\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^2\cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x \,dx = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

$\int \ln x\,dx=x\ln x-\int \frac{1}{x}x\,dx=x\ln x-x+C$

$\int \operatorname{arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

$I_1=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=$

$=\int e^{\alpha x}\,d\Big(-\frac{1}{\beta}\cos{\beta x}\Big)=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}\,dx=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2$

$I_2=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=$

$=\int e^{\alpha x}\,d\Big(\frac{1}{\beta}\sin{\beta x}\Big)=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}\,dx=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1$

Таким образом один интеграл выражается через другой:

$\begin{cases} I_1=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2 \\ I_2=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1 \end{cases}$

Решив полученную систему, получаем:

$I_1=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\sin{\beta x}-\beta\cos{\beta x}\Big)+C$

$I_2=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\cos{\beta x}+\beta\sin{\beta x}\Big)+C$

Многомерный случай

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество $\mathbb{R}^n$, а вместо производной − частная производная.

Пусть $\Omega$ открытое ограниченное подмножество $\mathbb{R}^n$ с кусочно-гладкой границей $\partial\Omega$. Если $u$ и $v$ гладкие функции на замыкании $\Omega$, то

$\int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,d x = \int_{\partial\Omega} u v n_i \,d\sigma - \int_\Omega u \frac{\partial v}{\partial x_i} \,d x$

где $\vec n$ − внешняя нормаль к $\partial\Omega$, а $n_i$ − ее i-ая координата, i от 1 до n, $\sigma$ - мера на $\partial\Omega$.

См. также

• Интеграл
• Интеграл Римана
• Преобразование Лежандра
• Методы интегрирования
• Дискретное преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям для сумм.

Литература

• Маслов А. П., Белоус Е. А. Тема 5.2 // Математика для инженеров (2 курс).
• Тимофеев А. Ф. Интегрирование функций. — М.—Лен.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — С. 37-42.

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки

• Математика для заочников и не только. Проверено 11 мая 2011. Архивировано из первоисточника 26 августа 2011.
• Канал СЗТУ на сайте youtube.com. Проверено 11 мая 2011.