Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

или

$\int u\,v'\,dx=u\,v-\int v\,u'\,dx$$\int u\,v'\,dx=u\,v-\int v\,u'\,dx$

для определённого:

$\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du$$\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du$

Предполагается, что нахождение интеграла $\int v\,du$$\int v\,du$ проще, чем $\int u\,dv$$\int u\,dv$. В противном случае применение метода не оправдано.

Получение формул

Для неопределённого интеграла

Функции $\textstyle {\mathit {u}}$$\textstyle {\mathit {u}}$ и $\textstyle {\mathit {v}}$$\textstyle {\mathit {v}}$ гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

$d(u\,v)=v\,du+u\,dv$$d(u\,v)=v\,du+u\,dv$

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

$\int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv$$\int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv$

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

$u\,v=\int v\,du+\int u\,dv$$u\,v=\int v\,du+\int u\,dv$

После перестановок:

$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$$\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

$\int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+\int {\frac {dx}{x}}$$\int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+\int {\frac {dx}{x}}$

Отсюда «следствие»: $0=1$$0=1$, что очевидно неверно.

Для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

$d(u\,v)=v\,du+u\,dv$$d(u\,v)=v\,du+u\,dv$

$\int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\,dv$$\int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\,dv$

$\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du$$\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du$

Данные формулы справедливы, если каждая из функций $u$$u$ и $v$$v$ непрерывно дифференцируема на области интегрирования.

Примеры

• $\int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$$\int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$
• $\int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C$$\int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C$
• Иногда этот метод применяется несколько раз:

$\int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=$$\int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=$

$=-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$$=-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

$\int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C$$\int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C$

$\int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$$\int \operatorname {arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname {arctg}\,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg}\,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

$I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=$$I_{1}=\int e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}\,dx=$

$=\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}$$=\int e^{{\alpha x}}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}$

$I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=$$I_{2}=\int e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}\,dx=$

$=\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}$$=\int e^{{\alpha x}}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}$

Таким образом один интеграл выражается через другой:

${\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}$${\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}$

Решив полученную систему, получаем:

$I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C$$I_{1}={\frac {e^{{\alpha x}}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C$

$I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C$$I_{2}={\frac {e^{{\alpha x}}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C$

Многомерный случай

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$, а вместо производной − частная производная.

Пусть $\Omega$$\Omega$ открытое ограниченное подмножество $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$ с кусочно-гладкой границей $\partial \Omega$$\partial \Omega$. Если $u$$u$ и $v$$v$ гладкие функции на замыкании $\Omega$$\Omega$, то

$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uvn_{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx$$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{{\partial \Omega }}uvn_{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx$

где ${\vec {n}}$${\vec {n}}$ − внешняя нормаль к $\partial \Omega$$\partial \Omega$, а $n_{i}$$n_{i}$ − её i-ая координата, i от 1 до n, $\sigma$$\sigma$ - мера на $\partial \Omega$$\partial \Omega$.

См. также

• Интеграл
• Интеграл Римана
• Преобразование Лежандра
• Методы интегрирования
• Дискретное преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям для сумм.

Литература

• Маслов А. П., Белоус Е. А. Тема 5.2 // Математика для инженеров (2 курс).
• Тимофеев А. Ф. Интегрирование функций. — М.—Лен.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — С. 37-42.

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки

• Математика для заочников и не только. Проверено 11 мая 2011. Архивировано из первоисточника 26 августа 2011.
• Канал СЗТУ на сайте youtube.com. Проверено 11 мая 2011.