Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла . Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией ), то справедливы следующие формулы
для неопределённого интеграла
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}
или в другой записи
∫
u
v
′
d
x
=
u
v
−
∫
v
u
′
d
x
{\displaystyle \int u\,v'dx=u\,v-\int v\,u'dx}
для определённого интеграла
∫
a
b
u
d
v
=
u
v
|
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}
Предполагается, что нахождение интеграла
∫
v
d
u
{\displaystyle \int v\,du}
∫
u
d
v
{\displaystyle \int u\,dv}
Функции
u
{\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}}
v
{\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}}
гладкие , следовательно, возможно дифференцирование :
d
(
u
v
)
=
v
d
u
+
u
d
v
{\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv}
Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:
∫
d
(
u
v
)
=
∫
v
d
u
+
∫
u
d
v
{\displaystyle \int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv}
Операция интегрирования обратна дифференцированию:
u
v
=
∫
v
d
u
+
∫
u
d
v
{\displaystyle u\,v=\int v\,du+\int u\,dv}
После перестановок:
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}
Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования .
Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм :
∫
d
x
x
=
1
x
⋅
x
−
∫
−
1
x
2
⋅
x
d
x
=
1
+
∫
d
x
x
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+\int {\frac {dx}{x}}}
Отсюда «следствие»:
0
=
1
{\displaystyle 0=1}
В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:
d
(
u
v
)
=
v
d
u
+
u
d
v
{\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv}
∫
a
b
d
(
u
v
)
=
∫
a
b
v
d
u
+
∫
a
b
u
d
v
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}
∫
a
b
u
d
v
=
u
v
|
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}
Данные формулы справедливы, если каждая из функций
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
∫
x
cos
x
d
x
=
∫
x
d
(
sin
x
)
=
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
x
=
x
sin
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}
∫
e
x
x
d
x
=
∫
x
d
(
e
x
)
=
x
e
x
−
∫
e
x
d
x
=
x
e
x
−
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}
Иногда этот метод применяется несколько раз:
∫
x
2
sin
x
d
x
=
∫
x
2
d
(
−
cos
x
)
=
−
x
2
cos
x
−
∫
−
2
x
cos
x
d
x
=
{\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}
=
−
x
2
cos
x
+
∫
2
x
d
(
sin
x
)
=
−
x
2
cos
x
+
2
x
sin
x
−
∫
2
sin
x
d
x
=
−
x
2
cos
x
+
2
x
sin
x
+
2
cos
x
+
C
{\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}
Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
∫
1
x
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}
∫
arctg
x
d
x
=
x
arctg
x
−
∫
x
1
+
x
2
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}
В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
I
1
=
∫
e
α
x
sin
β
x
d
x
=
{\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}
=
∫
e
α
x
d
(
−
1
β
cos
β
x
)
=
−
1
β
e
α
x
cos
β
x
+
α
β
∫
e
α
x
cos
β
x
d
x
=
−
1
β
e
α
x
cos
β
x
+
α
β
I
2
{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}
I
2
=
∫
e
α
x
cos
β
x
d
x
=
{\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}
=
∫
e
α
x
d
(
1
β
sin
β
x
)
=
1
β
e
α
x
sin
β
x
−
α
β
∫
e
α
x
sin
β
x
d
x
=
1
β
e
α
x
sin
β
x
−
α
β
I
1
{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}
Таким образом один интеграл выражается через другой:
{
I
1
=
−
1
β
e
α
x
cos
β
x
+
α
β
I
2
I
2
=
1
β
e
α
x
sin
β
x
−
α
β
I
1
{\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}
Решив полученную систему, получаем:
I
1
=
e
α
x
α
2
+
β
2
(
α
sin
β
x
−
β
cos
β
x
)
+
C
{\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}
I
2
=
e
α
x
α
2
+
β
2
(
α
cos
β
x
+
β
sin
β
x
)
+
C
{\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}
Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
частная производная .
Пусть
Ω
{\displaystyle \Omega }
открытое ограниченное подмножество
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
кусочно-гладкой границей
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
гладкие функции на замыкании
Ω
{\displaystyle \Omega }
∫
Ω
∂
u
∂
x
i
v
d
x
=
∫
∂
Ω
u
v
n
i
d
σ
−
∫
Ω
u
∂
v
∂
x
i
d
x
{\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uvn_{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx}
где
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
нормаль к
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
n
i
{\displaystyle n_{i}}
σ
{\displaystyle \sigma }
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
Также см. Математический анализ#Библиография .
