Интервальная арифметика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Интервальная арифметика — математическая структура, которая для вещественных интервалов определяет операции, аналогичные обычным арифметическим. Эту область математики называют также интервальным анализом или интервальными вычислениями. Данная математическая модель удобна для исследования различных прикладных объектов:

  • Величины, значения которых известны только приближённо, то есть определён конечный интервал, в котором эти значения содержатся.
  • Величины, значения которых в ходе вычислений искажены ошибками округления.
  • Случайные величины.

Объекты и операции интервальной арифметики можно рассматривать как обобщение модели вещественных чисел, поэтому интервалы в ряде источников называются интервальными числами. Практическая важность этой модели связана с тем, что результаты измерений и вычислений почти всегда имеют некоторую погрешность, которую необходимо учесть и оценить.

История вопроса[править | править код]

Операции над интервалами[править | править код]

Мы будем рассматривать всевозможные конечные вещественные интервалы . Операции над ними определяются следующим образом:

  • Сложение: [a,b] + [c,d] = [a + c, b + d]
  • Вычитание: [a,b] − [c,d] = [ad, bc]
  • Умножение: [a,b] × [c,d] = [min (ac, ad, bc, bd), max (ac, ad, bc, bd)]
  • Деление: [a,b] / [c,d] = [min (a/c, a/d, b/c, b/d), max (a/c, a/d, b/c, b/d)]

Из определения видно, что интервал-сумма содержит всевозможные суммы чисел из интервалов-слагаемых и определяет границы множества таких сумм. Аналогично трактуются прочие действия. Отметим, что операция деления определена только в том случае, когда интервал-делитель не содержит нуля.

Вырожденные интервалы, у которых начало и конец совпадают, можно отождествить с обычными вещественными числами. Для них данные выше определения совпадают с классическими арифметическими действиями.

Свойства операций[править | править код]

Сложение и умножение интервалов коммутативны и ассоциативны. Дистрибутивное свойство имеет место в ослабленном виде:

Варианты и расширения интервальной арифметики[править | править код]

Стандарт IEEE-1788[править | править код]

Стандарт компьютерной реализации интервальной арифметики IEEE-1788-2015 был принят в июне 2015 года.[1] Рабочей группой по подготовке стандарта были подготовлены две свободно распространяемые референсные его реализации:[2] библиотека C++ libieeep1788[3] library for C++, и пакет, реализующий интервальные вычисления для свободного математического ПО GNU Octave[4].

Минимальное подмножество стандарта, предназначенное для упрощения и ускорения его реализации - IEEE Std 1788.1-2017, было принято в декабре 2017 и и опубликовано в феврале 2018.[5]

Программное обеспечение[править | править код]

Существует много реализаций интервальной арифметики в различных пакетах программного обеспечения[6]. Зачастую они оформляются как специализированные библиотеки. Ряд компиляторов Fortran и C++ включают в себя поддержку интервальных значений как специального типа данных.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. IEEE Standard for Interval Arithmetic
  2. Revol, Nathalie (2015). The (near-)future IEEE 1788 standard for interval arithmetic. 8th small workshop on interval methods. Slides (PDF)
  3. C++ implementation of the preliminary IEEE P1788 standard for interval arithmetic
  4. GNU Octave interval package
  5. IEEE Std 1788.1-2017 - IEEE Standard for Interval Arithmetic (Simplified). IEEE Standard. IEEE Standards Association. Проверено 6 февраля 2018.
  6. Software for Interval Computations collected by Vladik Kreinovich, University of Texas at El Paso

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]