Интерполяционная формула Брахмагупты

Интерполяционная формула Брахмагупты — интерполяционная формула второго полиномиального порядка, найденная индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598—668) в начале VII века. Поэтическое описание этой формулы на санскрите находится в дополнительной части «Кхандакхадьяки» — труда, завершённого Брахмагуптой в 665 году. Такой же куплет имеется в более ранней его работе «Дхьяна-граха-адхикара», точная дата создания которой не установлена. Однако внутренняя взаимосвязь работ позволяет предположить, что она была создана ранее завершённого в 628 году основного труда учёного — «Брахма-спхута-сиддханта», поэтому создание интерполяционной формулы второго порядка может быть отнесено к первой четверти VII века. Брахмагупта был первым, кто нашёл и использовал формулу в конечных разностях второго порядка в истории математики.

Формула Брахмагупты совпадает с интерполяционной формулой второго порядка Ньютона, которая была найдена (переоткрыта) спустя более тысячи лет.

Задача

Будучи астрономом, Брахмагупта был заинтересован в получении точных значений синуса на основе небольшого количества известных табулированных значений этой функции. Таким образом, перед ним стояла задача найти величину $f(x)$, $x_{r}<x<x_{r+1}$ по имеющимся в таблице значениям функции:

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{r}$	$x_{r+1}$	$x_{r+2}$	…	$x_{n}$
$f(x_{r})$	$f_{1}$	$f_{2}$	…	$f_{r}$	$f_{r+1}$	$f_{r+2}$	…	$f_{n}$

При условии, что значения функции вычислены в точках с постоянным шагом $h$, ($x_{r+1}-x_{r}=h$ для всех $r$), Ариабхата предложил использовать для расчётов (табличные) первые конечные разности:

$D_{r}=f_{r+1}-f_{r}$

Математики до Брахмагупты использовали очевидную формулу линейной интерполяции

$f(x)=f_{r}+tD_{r}$,

где $t=(x-x_{r})/h$.

Брахмагупта заменил в этой формуле $D_{r}$ дугой функцией конечных разностей, которая позволяет получать более точные по порядку значения интерполируемой функции.

Алгоритм вычислений Брахмагупты

В терминологии Брахмагупты разность $D_{r-1}$ называется прошлый отрезок (गत काण्ड), $D_{r}$ называется полезный отрезок (भोग्य काण्ड). Длина отрезка $x-x_{r}$ до точки интерполирования в минутах называется обрубком (विकल). Новое выражение, которое должно заменить $D_{r}$ называется правильным полезным отрезком (स्फुट भोग्य काण्ड). Вычисление правильного полезного отрезка описано в куплете:

Согласно комментарию Бхуттопалы (X век) стихи переводятся так: Умножь обрубок на полуразность полезного и прошлого отрезков и раздели результат на 900. Добавь результат к полусумме полезного и прошлого отрезков, если эта полусумма меньше полезного отрезка. Если больше, то вычти. Получишь правильную полезную разность.

900 минут (15 градусов) — это интервал $h$ между аргументами табличных значений синуса, которыми пользовался Брахмагупта.

Формула Брахмагупты в современных обозначениях

В современных обозначениях алгоритм вычислений Брахмагупты выражается формулами:

${\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.\end{aligned}}$

Это интерполяционная формула Ньютона второго порядка.

Доказательство

Неизвестно как Брахмагупта получил эту формулу. В наше время такие формулы доказывают с помощью разложения функций $f(x+kh),k=1,2,...$ в правой расти равенства в ряд Тейлора в точке $x$. Однако доказать формулу можно и элементарными методами: после замены $t=(x-x_{r})/h$ формула Брахмагупты задаёт параболу проходящую через три точки $(x_{r-1},f_{r-1}),(x_{r},f_{r}),(x_{r+1},f_{r+1})$. Для вывода этой формулы достаточно найти коэффициенты этой параболы с помощью решения системы трёх линейных уравнений, определяемых этими точками.

Точность формулы

Компьютерный расчёт показывает, что имея таблицу из 7 значений синуса в узлах с шагом 15 градусов, Брахмагупта мог вычислять эту функцию с максимальной ошибкой не более 0,0012 и средней ошибкой не более 0,00042.