Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий заданные значения в заданном наборе точек, то есть решающий задачу интерполяции.

Определение

Интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы $y_{i}l_{i}(x)$, каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных.

Пусть задана $n+1$ пара чисел $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),$ где все $x_{j}$ различны. Требуется построить многочлен $L(x)$ степени не более $n$, для которого $L(x_{j})=y_{j}$.

Общий случай

Ж. Л. Лагранж предложил следующий способ вычисления таких многочленов:

$L(x)=\sum _{i=0}^{n}y_{i}l_{i}(x),$

где базисные полиномы $l_{i}$ определяются по формуле

$l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}\cdot {\frac {x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}}\cdots {\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}$

Для любого $i=0,\ldots ,n$ многочлен $l_{i}$ имеет степень $n$ и

$l_{i}(x_{j})=\left\{{\begin{array}{rl}0,&j\neq i,\\1,&j=i.\end{array}}\right.$

Отсюда следует, что $L(x)$, являющийся линейной комбинацией многочленов $l_{i}(x)$, имеет степень не больше $n$ и $L(x_{i})=y_{i}$.

Случай равноотстоящих узлов интерполяции

Пусть узлы интерполяции $x_{j}$ являются равноотстоящими, то есть выражаются через начальную точку $x_{0}$ и некоторую фиксированную положительную величину $h$ следующим образом:

$x_{j}=x_{0}+jh.$

Отсюда следует, что

$x_{j}-x_{i}=(j-i)h.$

Подставляя эти выражения в формулу для базисного полинома и вынося $h$ за знаки произведения в числителе и знаменателе, получим

$l_{j}(x)={\prod _{i=0,\,i\neq j}^{n}{(x-x_{i}) \over (x_{j}-x_{i})}}={\prod \limits _{i=0,\,i\neq j}^{n}(x-x_{0}-ih) \over h^{n}\prod \limits _{i=0,\,i\neq j}^{n}(j-i)}$

Теперь можно ввести замену переменной

$y={{x-x_{0}} \over h}$

и получить выражение для базисных полиномов через $y$, которое строится с использованием только целочисленной арифметики:

$l_{j}(x)=l_{j}(x_{0}+yh)=(-1)^{n-j}C_{n}^{j}{\dfrac {y(y-1)\ldots (y-n)}{(y-i)n!}}.$

Данные величины называются коэффициентами Лагранжа. Они не зависят ни от $y_{0},\ldots ,y_{n}$, ни от $h$ и потому могут быть вычислены заранее и записаны в виде таблиц. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.

Остаточный член

Если считать числа $y_{0},\ldots ,y_{n}$ значениями некоторой функции $f$ в узлах $x_{0},\ldots ,x_{n}$, то ошибка интерполирования функции $f$ многочленом $L$ равна

$f(x)-L(x)={\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})\ldots (x-x_{n}),$

где $\xi$ — некоторая средняя точка между наименьшим и наибольшим из чисел $x_{0},\ldots ,x_{n}$. Полагая $M_{n+1}=\sup _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|$, можно записать

$|f(x)-L(x)|\leqslant {\dfrac {M_{n+1}}{(n+1)!}}|(x-x_{0})\ldots (x-x_{n})|.$

Единственность

Основная статья: Интерполяция алгебраическими многочленами

Существует единственный многочлен степени не превосходящей $n$, принимающий заданные значения в $n+1$ заданной точке.

Доказательство

Предположим, что существуют два различных многочлена $P(x)$ и $Q(x)$ степени не более $n$, для которых верно, что для $n+1$ пар чисел $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),$ где все $x_{j}$ различны, $P(x_{j})=Q(x_{j})=y_{j}.$ Рассмотрим многочлен $L(x)=P(x)-Q(x)$. Подставляя в него $x_{j}$ ($0\leq j\leq n$), получаем, что $L(x_{j})=P(x_{j})-Q(x_{j})=y_{j}-y_{j}=0$. Таким образом, многочлен $L(x)$ имеет $n+1$ корней и все они различны. Следовательно $L(x)\equiv 0$, так как ненулевой многочлен степени не превосходящей $n$ имеет не более $n$ корней. Следовательно, $P(x)=Q(x)$. ■

Это утверждение является обобщением того факта, что через любые две точки проходит единственная прямая.

С точки зрения линейной алгебры

На единственность интерполяционного многочлена можно также взглянуть с точки зрения СЛАУ. Рассмотрим систему уравнений $P(x_{0})=y_{0},P(x_{1})=y_{1},\dots ,P(x_{n})=y_{n}$. В явном виде она записывается как

${\begin{cases}a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+\dots +a_{n}x_{0}^{n}=y_{0},\\a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+\dots +a_{n}x_{1}^{n}=y_{1},\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\a_{0}+a_{1}x_{n}+a_{2}x_{n}^{2}+\dots +a_{n}x_{n}^{n}=y_{n}\\\end{cases}}$

Её можно переписать в виде системы уравнений $Xa=y$ с неизвестным вектором $a=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})$:

${\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$

Матрица $X$ в такой системе является матрицей Вандермонда и её определитель равен $\prod \limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})$. Соответственно, если все точки $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}$ различны, то матрица невырождена и система обладает единственным решением.

С точки зрения китайской теоремы об остатках

По теореме Безу остаток от деления $P(x)$ на $(x-a)$ равен $P(a)$. Таким образом, всю систему можно воспринимать в виде системы сравнений:

${\begin{cases}P(x)\equiv y_{0}{\pmod {x-x_{0}}},\\P(x)\equiv y_{1}{\pmod {x-x_{1}}},\\\dots ,\\P(x)\equiv y_{n}{\pmod {x-x_{n}}},\\\end{cases}}$

По китайской теореме об остатках у такой системы есть единственное решение по модулю $(x-x_{0})(x-x_{1})\dots (x-x_{n})$, то есть, заданная система однозначно определяет многочлен степени не выше $n$. Такое представление многочлена в виде наборов остатков по модулям мономов аналогично представлению числа в виде остатков от деления на простые модули в системе остаточных классов. При этом явная формула для многочлена Лагранжа также может быть получена в соответствии с формулами китайской теоремы: ${\textstyle P(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}M_{i}M_{i}^{-1}}$, где $M_{i}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})$ и $M_{i}^{-1}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})^{-1}{\pmod {x-x_{i}}}=\prod \limits _{j\neq i}(x_{i}-x_{j})^{-1}$.

Пример

Приближение функции $f(x)={\mbox{tg}}(x)$ (синяя линия) многочленом $L(x)=4,834848x^{3}-1,477474x$ (зелёная линия).

Найдем формулу интерполяции для $f(x)=\mathop {\mathrm {tg} } \nolimits (x)$ имеющей следующие значения:

${\begin{aligned}x_{0}&=-1.5&&&&&f(x_{0})&=-14,1014\\x_{1}&=-0.75&&&&&f(x_{1})&=-0,931596\\x_{2}&=0&&&&&f(x_{2})&=0\\x_{3}&=0.75&&&&&f(x_{3})&=0,931596\\x_{4}&=1.5&&&&&f(x_{4})&=14,1014.\end{aligned}}$

$l_{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}={1 \over 243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)$

$l_{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}={}-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$l_{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1}}\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}={3 \over 243}(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)$

$l_{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)$

$l_{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}={1 \over 243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3).$

Получим

${\begin{aligned}L(x)&={1 \over 243}{\Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\\&{}\qquad {}+3f(x_{2})(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3)\\&{}\qquad {}+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Big )}\\&=4,834848x^{3}-1,477474x.\end{aligned}}$

Реализация общего случая на языке программирования Python

import numpy as np

# данные для примера
xi = np.array([-1.5, -0.75, 0, 0.75, 1.5])
yi = np.array([-14.1014, -0.931596, 0, 0.931596, 14.1014])


def get_coefficients(_pl: np.ndarray, _xi: np.ndarray):
    '''
    Определение коэффициентов для множителей базисных полиномов l_i
    :param _pl: массив базисных полиномов
    :param _xi: массив значений x
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    coefficients = np.empty((n, 2), dtype=float)
    for i in range(n):
        if i == _pl:
            coefficients[i][0] = float('inf')
            coefficients[i][1] = float('inf')
        else:
            coefficients[i][0] = 1 / (_xi[_pl] - _xi[i])
            coefficients[i][1] = -_xi[i] / (_xi[_pl] - _xi[i])
    filtered_coefficients = np.empty((n - 1, 2), dtype=float)
    j = 0
    for i in range(n):
        if coefficients[i][0] != float('inf'):
            # изменение последовательности, степень увеличивается
            filtered_coefficients[j][0] = coefficients[i][1]
            filtered_coefficients[j][1] = coefficients[i][0]
            j += 1
    return filtered_coefficients


def get_polynomial_l(_xi: np.ndarray):
    '''
    Определение базисных полиномов
    :param _xi: массив значений x
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    pli = np.zeros((n, n), dtype=float)
    for pl in range(n):
        coefficients = get_coefficients(pl, _xi)
        for i in range(n - 1):  # проходим по массиву coefficients
            if i == 0:
                continue
            elif i == 1:  # на второй итерации занимаются 0-2 степени
                pli[pl][0] = coefficients[i - 1][0] * coefficients[i][0]
                pli[pl][1] = coefficients[i - 1][1] * coefficients[i][0] + coefficients[i][1] * coefficients[i - 1][0]
                pli[pl][2] = coefficients[i - 1][1] * coefficients[i][1]
            else:
                clone_pli = np.zeros(n, dtype=float)
                for val in range(n):
                    clone_pli[val] = pli[pl][val]
                zeros_pli = np.zeros(n, dtype=float)
                for j in range(n-1):  # проходим по строке pl массива pli
                    product_1 = clone_pli[j] * coefficients[i][0]
                    product_2 = clone_pli[j] * coefficients[i][1]
                    zeros_pli[j] += product_1
                    zeros_pli[j+1] += product_2
                for val in range(n):
                    pli[pl][val] = zeros_pli[val]
    return pli

def get_polynomial(_xi: np.ndarray, _yi: np.ndarray):
    '''
    Определение интерполяционного многочлена Лагранжа
    :param _xi: массив значений x
    :param _yi: массив значений y
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    polynomial_l = get_polynomial_l(_xi)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            polynomial_l[i][j] *= yi[i]
    L = np.zeros(n, dtype=float)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            L[i] += polynomial_l[j][i]
    return L

# результат в виде массива коэффициентов многочлена при x в порядке увеличения степени
# [ 0.         -1.47747378  0.          4.8348476   0.        ]
# т.е. результирующий многочлен имеет вид: y(x) = -1.47747378*x + 4.8348476*x^3

Применения

Многочлены Лагранжа степеней от нулевой до пятой для функции $\cos(5\pi x)$

Численное интегрирование

Пусть для функции $f(x)$ известны значения $y_{i}=f(x_{i})$ в некоторых точках. Тогда можно интерполировать эту функцию методом Лагранжа:

$f(x)\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x).$

Полученное выражение можно использовать для приближённого вычисления определённого интеграла от функции $f$:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\int \limits _{a}^{b}l_{i}(x)dx$

Значения интегралов от $l_{i}$ не зависят от $f(x)$ и их можно вычислить заранее с использованием последовательности $x_{j}$.

Литература

• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное — М.: Физматлит. 1962.

Ссылки

• М. А. Тынкевич. Глава 7.6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа // Численные методы анализа. — Кемерово, 2002. — ISBN 5-89070-042-1. (недоступная ссылка)
• А. Г. Хованский. Полиномы Лагранжа и их применения. Видео-лекция. VI Летняя школа «Современная математика», Дубна, 2006.

См. также

• Схема Эйткена
• Интерполяционные формулы Ньютона
• Интерполяция с кратными узлами
• Схема разделения секрета Шамира
• Комбинаторная теорема о нулях
• Интерполяция алгебраическими многочленами