Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn), где все xj различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xj) = yj.
В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.
Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек
(-9,5),
(-4,2),
(-1,-2) и
(7,9), а также полиномы
yi li(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных
xj
Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

li(x) обладают следующими свойствами:
- являются многочленами степени n
- li(xi) = 1
- li(xj) = 0 при j ≠ i
Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация li(x), может иметь степень не больше n, и L(xi) = yi.
Существует единственный многочлен степени не превосходящей
, принимающий заданные значения в
точке (что является обобщением факта, что через любые две точки проходит единственная прямая).
Действительно, предположим, что существуют два различных многочлена степени не более
:
и
, для которых верно, что для
пар чисел
где все
различны,
Рассмотрим многочлен
. Подставляя
вместо
(
), получаем, что
. Таким образом, многочлен
имеет
корней, и все они различны. Следовательно
, так как ненулевой многочлен степени, не превосходящей
имеет не более
корней. Следовательно
. ■
На единственность интерполяционного многочлена можно также взглянуть с точки зрения СЛАУ. Рассмотрим систему уравнений
. В явном виде она записывается как:

Её можно переписать в виде системы уравнений
с неизвестным вектором
:

Матрица
в такой системе является матрицей Вандермонда и её определитель равен
. Соответственно, если все точки
различны, то матрица невырождена и система обладает единственным решением.
По теореме Безу остаток от деления
на
равен
. Таким образом, всю систему можно воспринимать в виде системы сравнений:

По китайской теореме об остатках у такой системы есть единственное решение по модулю
, то есть, заданная система однозначно определяет многочлен степени не выше
. Такое представление многочлена в виде наборов остатков по модулям мономов аналогично представлению числа в виде остатков от деления на простые модули в системе остаточных классов. При этом явная формула для многочлена Лагранжа также может быть получена в соответствии с формулами китайской теоремы:
, где
и
.
Функция тангенса и интерполяция
Найдем формулу интерполяции для
имеющей следующие значения:






Получим

Используя полином Лагранжа можно показать, что
если
, то первые два по старшинству коэффициента многочлена
Указанная выше сумма задаёт биективное отображение между
и
Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для
численного интегрирования.
Многочлены Лагранжа степеней от нулевой до пятой для функции

Пусть для функции f(x) известны значения yi=f(xi) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от li не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность xj.
Случай равномерного распределения узлов интерполяции[править | править код]
В случае равномерного распределения узлов интерполяции xj выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0:
,
и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.