Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий заданные значения в заданном наборе точек, то есть решающий задачу интерполяции.
Интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек
(-9,5),
(-4,2),
(-1,-2) и
(7,9), а также полиномы

, каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных.
Пусть задана
пара чисел
где все
различны. Требуется построить многочлен
степени не более
, для которого
.
Ж. Л. Лагранж предложил следующий способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы
определяются по формуле

Для любого
многочлен
имеет степень
и

Отсюда следует, что
, являющийся линейной комбинацией многочленов
, имеет степень не больше
и
.
Случай равноотстоящих узлов интерполяции[править | править код]
Пусть узлы интерполяции
являются равноотстоящими, то есть выражаются через начальную точку
и некоторую фиксированную положительную величину
следующим образом:

Отсюда следует, что

Подставляя эти выражения в формулу для базисного полинома и вынося
за знаки произведения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить выражение для базисных полиномов через
, которое строится с использованием только целочисленной арифметики:

Данные величины называются коэффициентами Лагранжа. Они не зависят ни от
, ни от
и потому могут быть вычислены заранее и записаны в виде таблиц. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.
Если считать числа
значениями некоторой функции
в узлах
, то ошибка интерполирования функции
многочленом
равна

где
– некоторая средняя точка между наименьшим и наибольшим из чисел
. Полагая
, можно записать

Существует единственный многочлен степени не превосходящей
, принимающий заданные значения в
заданной точке.
Доказательство
Предположим, что существуют два различных многочлена
и
степени не более
, для которых верно, что для
пар чисел
где все
различны,
Рассмотрим многочлен
. Подставляя в него
(
), получаем, что
. Таким образом, многочлен
имеет
корней и все они различны. Следовательно
, так как ненулевой многочлен степени не превосходящей
имеет не более
корней. Следовательно,
. ■ ■
Это утверждение является обобщением того факта, что через любые две точки проходит единственная прямая.
На единственность интерполяционного многочлена можно также взглянуть с точки зрения СЛАУ. Рассмотрим систему уравнений
. В явном виде она записывается как

Её можно переписать в виде системы уравнений
с неизвестным вектором
:

Матрица
в такой системе является матрицей Вандермонда и её определитель равен
. Соответственно, если все точки
различны, то матрица невырождена и система обладает единственным решением.
По теореме Безу остаток от деления
на
равен
. Таким образом, всю систему можно воспринимать в виде системы сравнений:

По китайской теореме об остатках у такой системы есть единственное решение по модулю
, то есть, заданная система однозначно определяет многочлен степени не выше
. Такое представление многочлена в виде наборов остатков по модулям мономов аналогично представлению числа в виде остатков от деления на простые модули в системе остаточных классов. При этом явная формула для многочлена Лагранжа также может быть получена в соответствии с формулами китайской теоремы:
, где
и
.
Приближение функции

(синяя линия) многочленом

(зелёная линия).
Найдем формулу интерполяции для
имеющей следующие значения:






Получим

Многочлены Лагранжа степеней от нулевой до пятой для функции

Пусть для функции
известны значения
в некоторых точках. Тогда можно интерполировать эту функцию методом Лагранжа:

Полученное выражение можно использовать для приближённого вычисления определённого интеграла от функции
:

Значения интегралов от
не зависят от
и их можно вычислить заранее с использованием последовательности
.