Интерполяционный многочлен Лагранжа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn), где все xj различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xj) = yj.

В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение[править | править вики-текст]

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы yi li(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных xj

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

li(x) обладают следующими свойствами:

  • являются многочленами степени n
  • li(xi) = 1
  • li(xj) = 0 при j ≠ i

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация li(x), может иметь степень не больше n, и L(xi) = yi.

Пример[править | править вики-текст]

Функция тангенса и интерполяция

Найдем формулу интерполяции для f(x) = tan(x) имеющей следующие значения:

Получим

Применения[править | править вики-текст]

Используя полином Лагранжа можно показать, что

если , то первые два по старшинству коэффициента многочлена

Указанная выше сумма задаёт биективное отображение между и

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции f(x) известны значения yi=f(xi) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от li не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность xj.

Случай равномерного распределения узлов интерполяции[править | править вики-текст]

В случае равномерного распределения узлов интерполяции xj выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0:

,

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]