Центр вписанной окружности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Инцентр»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Центр вписанной окружности
Окружность, вписанная в треугольник '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'
Окружность, вписанная в треугольник
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты 1:1:1
Код ЭЦТ X(1)
Связанные точки
Изогонально сопряженная она же
Дополнительная[es] центр Шпикера
Антидополнительная[es] точка Нагеля
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Традиционно обозначается латинской буквой (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом .

Свойства[править | править код]

  • Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
  • Для треугольника со сторонами , и , противолежащими вершинам , и соответственно, инцентр делит биссектрису угла в отношении:
    .
Теорема трилистника
  • Если продолжение биссектрисы угла пересекает описанную окружность в точке , то выполняется равенство: , где  — центр вневписанной окружности, касающейся стороны ; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).
  • Расстояние между инцентром и центром описанной окружности выражается формулой Эйлера:
    ,
где и  — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[1].
  • Инцентр можно найти как центр масс вершин треугольника если в каждую вершину поместить массу, равную длине противолежащей стороны (см. также Центр Шпикера).
Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)
  • Лемма Веррьера[3]. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. снизу).
  • Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.[4].
    • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
Теорема Тебо 3
  • Третья теорема Тебо. Пусть  — произвольный треугольник,  — произвольная точка на стороне ,  — центр окружности, касающейся отрезков и описанной около окружности,  — центр окружности, касающейся отрезков и описанной около окружности. Тогда отрезок проходит через точку  — центр окружности, вписанной в , и при этом , где .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Мякишев А. Г. . Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение». вып. 19). — ISBN 5-94057-048-8. — С. 11, п. 5.
  2. Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
  3. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
  4. Ross Honsberger, "3. An Unlikely Collinearity" in "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry" (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390), p. 30, Figure 34

Литература[править | править код]

  • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 88-90. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.