Итерационная формула Герона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

,

где a — фиксированное положительное число, а  — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе быстро сходится к величине (квадратный корень из числа), то есть

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения .

Пример[править | править вики-текст]

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения будет значение 3.

n Приблизительное значение
1 3
2 5.67
3 5.04
4 5

Геометрическая интерпретация[править | править вики-текст]

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x1. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература[править | править вики-текст]